Prüfe nach, dass e^{iA} = cos A + i sin A (Matrizenaufgabe Reihen)

Question

Aufgabe:

(i) Definiere für \( A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \)

\( \begin{aligned} \cos A &=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k) !} A^{2 k} \\ \sin A &=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !} A^{2 k+1} \end{aligned} \)

Prüfe nach, dass \( \mathrm{e}^{\mathrm{i} A}=\cos A+\mathrm{i} \sin A \).

(ii) Berechne e \( ^{t A} \) für \( A=\left[\begin{array}{rr}5 & -2 \\ 2 & 5\end{array}\right] \).

Answer 1

Hi,
zu (i)
es gilt $$ e^{iA} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(iA)^k}{k!} $$ Die Summe wird in gerade und ungerade Indizies zerlegt, dann gilt
$$ e^{iA} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(iA)^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^\infty \frac{(iA)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kA^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kA^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sin(A) + i\cos(A) $$

zu (ii)
Bestimme die Eigenwerte \( \lambda_{1,2} = 5 \pm 2i  \) und bestimme die Eigenvektoren. Die Matrix \( V \) die die Eigenvektoren als Spaltenvektoren enthält, diagonalisiert die Matrix und es gilt \( A = VDV^{-1} \) deshalb gilt \( e^A = V \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2}  \end{pmatrix} V^{-1} \) und wenn man alle EW und EV richtig bestimmt hat folgt durch ausmultiplizieren
$$ e^{At} = e^{5t} \begin{pmatrix}  \cos(2t) & -\sin(2t) \\ \sin(2t) & \cos(2t) \end{pmatrix} $$