Prüfe f-1(x) = 2x*sin( \frac{1}{x} ) - cos( \frac{1}{x} ) auf Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Gegeben ist f:[-1,1] → ℝ , f(x) = x²sin( \( \frac{1}{x} \) ) für x≠0 und f(x) = 0 für x=0.

Prüfe die Funktion auf Differenzierbarkeit. Danach bilde die Ableitung und prüfe sie auf Stetigkeit.

Problem/Ansatz:

Durch bilden der beidseitigen Grenzwerte gegen 0, habe ich gezeigt das f differenzierbar ist.
Für die Ableitung habe ich errechnet f^-1(x) = 2x*sin( \( \frac{1}{x} \) ) - cos( \( \frac{1}{x} \) ) .
Um die Stetigkeit zu prüfen muss ich ja schauen was passiert, wenn x gegen 0 geht. Da 2x dann zu 0 wird bleibt nur noch
-cos( \( \frac{1}{x} \) ) zu prüfen. Doch da hänge ich, da wenn x gegen 0 geht, dann weiß ich nicht wie ich da den Cosiunus handhaben soll.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe :)

Comments

Durch bilden der beidseitigen Grenzwerte gegen 0, habe ich gezeigt das f differenzierbar ist.

Nein. Dadurch hast du (falls diese beiden Grenzwerte 0 waren), gezeigt dass f stetig ist.

Oder sprichst du hier schon von den Grenzwerten der Ableitung?

bleibt nur noch -cos( \( \frac{1}{x} \) ) zu prüfen.

Wenn x gegen 0 geht, wächst 1/x immer schneller. Die Cosinusfunktion oszilliert dabei immer schneller im Bereich zwischen -1 und 1.

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Die Grenzwerte habe ich bei der Funktion gebildet. Also habe ich Stetigkeit und nicht Differenzierbarkeit bei der Funktion nachgewiesen. Dann muss ich das wohl nochmal neu machen.

Also bei der Cosinusfunktion kann ich aufgrund der Oszillation keine Stetigkeit zeigen, verstehe ich das so richtig?

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Also bei der Cosinusfunktion kann ich aufgrund der Oszillation keine Stetigkeit zeigen, verstehe ich das so richtig?

Nein, du kannst die Differenzierbarkeit widerlegen.

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Hallo,

ich weiß nicht, ob bei den Kommentaren etwas durcheinander gegangen ist:

- f ist im Nullpunkt differenzierbar - über Differenzenquotient

- f ist außerhalb des Nullpunkts differenzierbar - über formelmäßige Ableitung.

- f' ist im Nullpunkt unstetig.

Gruß

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f ist im Nullpunkt differenzierbar - über Differenzenquotient

@Mathepeter

Dann hilf mir mal bitte: Welchen Wert nimmt die Ableitung f'(x) an der Stelle x=0 an?

@Chakly

Tut mir leid, ich habe etwas überlesen. Es geht nicht um die Stetigkeit der Funktion (die ist bei x=0 stetig), es ging in der Aufgabe um die Stetigkeit der Ableitung.

Answer 1

Hallo,

ich schreib das jetzt mal in die Antwort rein, auch wenn es simpel ist  \(f'(0)\) berechnet man, wenns denn nicht anders geht, über den Differenzenquotienten - in der Schule auch gerne h-Methode genannt:

$$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}= h \sin(\frac{1}{h}) \to 0 \quad (h \to 0)$$

Denn die sin-Funktion ist im Betrag durch 1 beschränkt. Für \(x \neq 0\) ist wie oben gesagt

$$f'(x)=2x \sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})$$

Dies Ableitungsfunktion besitzt im Nullpunkt keinen Grenzwert, weil, wie oben gesagt, der cos-Term oszilliert.

Gruß