Monoton wachsend vs streng monoton wachsend

Question

Hallo liebe Community

Ein meinem Buch wird als Anschaulichkeitsbeispiel
volgende Funktion vorgerechnet:

f(x)=x^3-6x^2+12x-7

die Ableitung hat eine Nullstelle:

f´(2)=0

dann wird erklärt:

f(0)=-7 ; f(2)=1 ; f(3)=2  /d.h.: f ist links von 2 monoton wachsend ; f ist rechts von 2 monoton wachsend => f ändert ander der Stelle 2 das Monotonieverhalten nicht, 2 ist daher keine lokale Extremstelle.

Wärend ich Rechnung und Argumentation verstehe, sehe ich nicht warum die Funktion "monoton wachesend" und nicht "streng monoton wachsend " ist.

Kann mir das vll. jemand erklären?

Alex

Answer 1

Du kannst auch sagen, dass die Funktion streng monoton wachsend ist.

Streng monoton wachsend ist ein Spezialfall von monoton wachsend.

Das heißt, wenn eine Funktion streng monoton wächst, dann ist so auf jeden Fall auch monoton wachsend, denn:
monoton wachsend: Funktionswert wird größer oder bleibt gleich.

streng monoton wachsend: Funktionswert wird größer.

Da es sich um einfaches Polynom 3. Grades handelt, kann man sich denken, dass diese, wenn sie monoton wachsend ist, auch streng monoton wächst.

Answer 2

f ( x ) = x^3 - 6 * x^2 + 12 * x -7 ;

f ´( 2 ) = 0
Stelle mit waagerechter Tangente
f ´´( 2 ) = 0
Wendepunkt

Bei x = 2 ist ein Sattelpunkt

~plot~ x^3 - 6 * x^2 + 12 * x -7 ~plot~

Monoton wachsend
f ( x + d ) ≥ f ( x )

Streng monoton wachsende
f ( x + d ) > f ( x ) 

Auch wenn bei x = 2 die Steigung null ist
ist die Funktion vom linken Grenzwert zum Funktionswert wachsend
und
nach dem Funktionswert zum rechten Grenzwert auch wieder wachsend.
Die Funktion ist streng monoton wachsend.

Comments

Monoton wachsend 
f ( x + d ) ≥ f ( x ) 

Streng monoton wachsende 
f ( x + d ) > f ( x ) 

Schau mal die Definition bei Wikipedia.

f(x) = x^3 ist auf ganz R streng monoton Wachsend. Das bedeutet änder ich den Funktionswert von x auf x + h so ändert sich auch der Funktionswert von y auf y + k. h und k Element aus R+

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Ich sehe jetzt monentan keinen Unterschied von deinem Kommentar
und meiner Antwort.

Aus Wikipedia :
Streng monoton steigend (resp. streng monoton fallend) sind Funktionen
oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden und nirgends konstant sind.

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und danke für die Antworten!

Ich sehe das genauso!

Meine Frage bezog sich darauf, dass in meinem Bucch "monoton wachsend" und eben nicht "streng monoton  wachsend "steht. Ich denke ich werde das so wie in der ersten Antwort steht  interpretieren.

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Bei Polynomen gilt 

Streng monoton wachsend
f ( x + d ) >= f ( x ) 

Bei Polynomen gibt es bis auf die Konstante Funktion keine monotonen Funktionen. Polynome mit einem Grad >= 1 sind immer streng monoton auf den einzelnen Intervallen.