Zeigen Sie, dass eine Cauchy-Folge vorliegt

Question

Aufgabe:

Seien \( q \in(0,1) \) und \( \left(a_{n}\right)_{n} \) ein Folge mit \( \left|a_{n+2}-a_{n+1}\right| \leq q\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

Zeigen Sie, dass \( \left(a_{n}\right)_{n} \) eine Cauchy-Folge ist.

Comments

Du musst hier im grunde nur mit der Definition arbeiten und ein bisschen abschätzen:

Die Frage hab ich schon mal hier gesehen hmmm.. lass dich mal hier inspirieren:

https://www.mathelounge.de/181056/zeigen-dass-eine-cauchy-folge-vorliegt

Wo dran scheitert es? Das ist ja quasi schon der Löwenteil der Lösung

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Es scheitert glaube ich heute einfach an allem.. Ich sitze an der Aufgabe schon seit ein paar Tagen und bekomme weder die Induktion hin noch sonstiges und muss sie halt in na stunde abgeben ..

Answer 1

wie habt ihr den cauchy-folge definiert, etwa so:
zu jedem eps > 0 gibt es ein no mit: aus  n>n0 folgt |an+1 - an | < eps    ?
oder so:           lim (an+1 - an) = 0

jedenfalls kannst du aus | an+2 - an+1 | <=   q | an+1 - an |
per Induktion herleiten     | an+2 - an+1 | <=   qⁿ | a₁ - a₀ |

also kannst du abschätzen für |a_n+1 - a_n | <= q^n-1 | a₁ - a₀ | und wegen |q|<1 bekommst du
in beiden Fällen das Ergebnis hin

Answer 2

Hi, \( a_n \) ist eine Cauchyfolge genau dann, wenn gilt, zu jedem \( \epsilon > 0 \) ex. \( n_0 \in \mathbb{N} \) mit \( | a_n - a_m | < \epsilon \) für alle \( n,m \ge n_0 \)
Also betrachte \( | a_n - a_m | \) und o.B.d.A \( n \ge m \ge n_0 \) Dann gilt wegen der Dreiecksungleichung und der Voraussetzung
$$ | a_n - a_m | \le \sum_{k=m+1}^n | a_k -a_{k-1} | \le \sum_{k=m+1}^n q^{k-1} | a_1 - a_0 |  $$
Der letzte Term kann man wie folgt abschätzen (Geometrische Reihe)
$$ \sum_{k=m+1}^n q^{k-1} | a_1 - a_0 | \le \frac{1}{q}  | a_1 - a_0 | \left( \sum_{k=0}^n q^k - \sum_{k=0}^m q^k \right) = $$  $$ \frac{1}{q(1-q)} | a_1 - a_0 | q^{m+1} \left( 1-q^{n-m} \right) \le \frac{q^{m}}{1-q} | a_1 - a_0 | < \epsilon $$ falls \( n_0 \) groß genug ist.
Also ist \( a_n \) eine Cauchyfolge.