Zeigen Sie, dass {xn} eine Cauchy-Folge ist.

Question

Es seien I ein abgeschlossenes Intervall (d.h. ein Intervall der Form [a, b], [a,∞), (−∞, b]
oder auch (−∞,∞)), und f : I → I eine Funktion mit der Eigenschaft

     |f(x) − f(y)| ≤ k*|x − y|, x, y ∈ I (1)

für irgendeine Konstante k ∈ (0, 1). (Eine Funktion mit der Eigenschaft (1) heißt Kontraktion auf I.)

Es sei x0 ∈ I und die Folge {xn} sei durch das Rekursionsschema

       x_n+1= f(xn), n = 0, 1, 2, . . .    definiert.

(a) Beweisen Sie, dass

    |x − y| ≤ 1/(1 − k) * (|x − f(x)| + |y − f(y)|)        x, y ∈ I

    und folgern Sie, dass

    |xn − xm| ≤ (kⁿ + k^m)/(1-k) * |x+-x1|      n,m=0,1,2,.......

(b) Zeigen Sie, dass {xn} eine Cauchy-Folge ist.

(c) Folgern Sie, dass {xn} gegen eine Zahl ξ ∈ I konvergiert.

(d) Zeigen Sie, dass {f(xn)} gegen f(ξ) konvergiert.

(e) Folgern Sie, dass ξ die eindeutige Lösung der Gleichung f(x) = x in I ist. (Eine solche
Lösung heißt Fixpunkt von f in I.

Zeigen Sie durch die Angabe von Gegenbeispielen, dass die Existenz eines Fixpunktes von
f in I nicht garantiert ist, falls
(i) I ein offenes Intervall ist,
oder
(ii) die Bedingung (1) durch
|f(x) − f(y)| < |x − y|, x, y ∈ I
ersetzt wird

Hab hier leider sehr große Schwierigkeiten bei den Aufgaben :(

Answer 1

Zu (a)

$$ | x - y | = | x - f(x) + f(x) - y + f(y) - f(y) | \le | x -f(x) | + | y - f(y) | + |f(x) - f(y) | \\ \le | x -f(x) | + | y - f(y) | + k | x - y |$$

Also $$ | x - y | \le \frac{1}{1 - k } \left( | x -f(x) | + | y - f(y) | \right) $$ und damit

$$ | x_n - x_m | \le \frac{1}{1 - k } \left( | x_n -f(x_n) | + | x_m - f(x_m) | \right) =  \frac{1}{1 - k } \left( | x_n - x_{n+1} | + | x_m - x_{m+1} | \right) $$ Daraus folgt

$$  |x_n - x_m | \le \frac{ k^n + k^m }{1-k } |x_1 - x_0 |$$

zu (b)

Wenn \( n,m \ge N_0 \in \mathbb{N} \) gilt und \( N_0 \) groß genug ist, folgt \( x_n - x_m | < \epsilon \)

Also ist \( x_n \) ein Cauchy-Folge

zu (c)

Weil jede Cauchy-Folge eine konvergente Folge ist, folgt \( x_n \to \xi \)

zu (d)

Wegen der Lipschitzstetigkeit der Funktion \( f(\cdot) \) folgt, \( f(\cdot) \) ist stetig und daraus \( f(x_n) \to f(\xi) \)

zu (e)

Es gilt \( | f(\xi) - \xi | \le | f(\xi) - f(x_n)  | + | f(x_n) - \xi | = | f(\xi) - f(x_n)  | + | x_{n+1} - \xi |  \le \epsilon\) wenn \( n \in \mathbb{N} \) groß genug ist.

Damit ist \( \xi \) der gesuchte Fixpunkt und es gilt \( f(\xi) = \xi \)