Zeigen Sie, dass (xn)n∈N eine Cauchy-Folge ist, und berechnen Sie den Grenzwert.

Question

Die Folge (xn) sei rekursiv definiert durch
x₁ = 1    x_n+1 =1÷1 + x_n,      n ≥ 1.
Zeigen Sie, dass (x_n)_n∈N eine Cauchy-Folge ist, und berechnen Sie den Grenzwert. Ist
(x_n)_n∈N monoton (fallend oder wachsend)?

Hinweis: Zum Nachweis, dass (xn)n∈N eine Cauchy-Folge ist, können Sie Satz 2 aus
Abschnitt 2.4 der Vorlesung und die anschliessende Bemerkung benutzen.

Comments

\( x_{n+1} = 1 \div 1 + x_n = 1 + x_n  \Longrightarrow x_n = n, \quad \forall n \in \mathbb{N}\)

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Das ist garantiert keine Cauchyfolge !

Du hast den Hang, deine Folgen fehlerhaft hinzuschreiben.

Könntest du dir hierbei nicht ein bisschen mehr

Mühe geben und Sorgfalt walten lassen?

Für einen Leser ist das unzumutbar.

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Die Folge soll wohl \(x_{n+1}=\large\frac1{1+x_n}\), \(x_1=1\) lauten.
Zeige zunächst per Induktion über \(n\), dass \(\frac12\le x_n\le1\) für alle \(n\ge1\) gilt. Dann$$\left\lvert x_{n+1}-x_n\right\rvert=\left\lvert\frac1{1+x_n}-\frac1{1+x_{n-1}}\right\rvert=\left\lvert\frac{x_{n-1}-x_n}{(1+x_n)\cdot(1+x_{n-1})}\right\rvert\le\tfrac49\left\lvert x_n-x_{n-1}\right\rvert.$$Wende darauf den Satz aus der Vorlesung an.