Konvergenz der Cauchy Folge

Question

ich bin mal wieder auf eine Aufgabe im Internet gestoßen, in der ich den Lösungsweg nicht nachvollziehen kann.

Also

$$|a_{m}-an_{}| = |\frac{2m-1}{3m}-\frac{2n-1}{3n}| = |\frac{2}{3} -\frac{1}{3m}-\frac{2}{3} + \frac{1}{3n} | = |\frac{1}{3m} - \frac{1}{3n} | < ε Die Ungleichung ist erfüllt, falls \frac{1}{n} < \frac{3ε}{2} , also    n > \frac{2}{3ε}(gleiches natürlich auch für m). Also für n,m > \frac{2}{3ε} ist das Cauchy-Kriterium erfüllt. $$

Die Folge konvergiert.

Wie kommt man jetzt auf die Ungleichung $$ \frac{1}{n} < \frac{3ε}{2} $$, wenn ich das so umformen würde wie ich es eigentlich gehabt hätte wäre da $$ \frac{1}{-3n} < ε$$

MfG

Answer 1

$$ \left|  \frac{1}{3m} - \frac{1}{3n} \right| \le \left| \frac{1}{3m} \right| + \left| \frac{1}{3n} \right| < \epsilon  $$ falls \( \frac{1}{m} \) und \( \frac{1}{n} \) kleiner als \(  \frac{3}{2} \epsilon \) ist.

Comments

Wo kommt die 2 im Nenner jetzt her?

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Hattest Du doch auch schon da stehen. Habe ich von Dir übernommen. Außerdem gilt $$ \frac{1}{3m} + \frac{1}{3n} < \frac{1}{3} \left(  \frac{3}{2} \epsilon +  \frac{3}{2} \epsilon \right) = \epsilon $$

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Ja genau, vielleicht steh ich jetzt aufm Schlauch aber ich hab die Formel bis jetzt so angewandt, dass  das gesuchte n < epsylon sein sollte und m auch, ich versteh nicht wo dieses 3/2 Epsylon herkommt :/

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Es soll ja sein $$ \frac {1}{3} \left( \frac{1}{m} +  \frac{1}{n} \right)  < \epsilon $$ also $$ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < 3 \epsilon  $$ mit \( M = \max \left( \frac{1}{m} ,\frac{1}{n}\right)  \) ist man auf der sicheren Seite, wenn man wie folgt abschätzt $$ \frac {1}{3} \left( \frac{1}{m} +  \frac{1}{n} \right) < \frac{2}{3} M < \epsilon $$ Also $$ M = \max \left( \frac{1}{m} ,\frac{1}{n}\right) < \frac{3}{2} \epsilon $$