Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln

Question

Bitte mit einfacher Lösung und Erklärung :)

a) -3x² + 6x +5

Danke ..... :)

Answer 1

-3x² + 6x +5
-3 * ( x^2 - 2x ) + 5
-3 * ( x^2 - 2x + 1 - 1 ) + 5 
-3 * ( x^2 - 2x + 1 ) + 3 + 5
-3 * ( x - 1 )^2  + 8
(  1  | 8 )

Comments

wo kommt in der 3.Zeile das -1 her?

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cb629: Weisst du denn woher das +1 vor dem -1 kommt?

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-3 * ( x² - 2x ) + 5

es wird für den Ausdruck in Klammern
( x² - 2x )
die quadratische Ergänzung gesucht um den Ausdruck
in die 2.binomische Formel zu verwandeln +1^2

( x² - 2x + 1^2 )
Damit der Klammerausdruck gleich bleibt wird 1 abgezogen
( x² - 2x ) = ( x² - 2x + 1^2 - 1 )

Die -1 wird aus der Klammer herausgebracht

-3 * ( x² - 2x + 1^2 - 1 )
-3 * [ ( x² - 2x + 1^2 ) - 1 ]
-3 * [ ( x² - 1 ) ^2  - 1 ]
-3  * ( x² - 1 )   -3  * ( - 1 )
-3 * ( x² - 1)^2   + 3

Insgesamt
-3 * ( x² - 1)^2   + 3 + 5
-3 * ( x² - 1)^2   + 8

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Sehr anschaulich!

Answer 2

Ganz allgemein würde das so aussehen.

Das b^2/(4a^2) in der 3. Zeile ist die quadratische Ergänzung. Dazu nimmt man die Hälfte des Faktors vor dem x und quadriert diesen.

Comments

So ganz allgemein :
Die Scheitelpunktform habe ich erst hier im Forum kennengelernt.
Sicherlich ist es in der Schulmathematik sinnvoll diese in
"Vor - Differntialrechnung - Zeit "  zu behandeln.
Vorteil : einfache Bestimmung  des Scheitelpunkts.

Wie bekannt kann der Scheitelpunkt der Aufgabe auch mit der
Differentialrechnung auch bestimmt werden

f ( x ) = -3x² + 6x +5 
f ´( x ) = -6 * x + 6
-6 * x + 6 = 0
x = 1
f ( 1 ) = -3 + 6 + 5 = 8
( 1 | 8 )

Für mich dies ist viel klarer und einfacher als die Lösung mit
Hilfe der Scheitelpunktform.

Vorfaktor von x^2 berücksichtigen, quadratische Ergänzung richtig anwenden,
Ausklammerung anwenden usw. erscheint mir manchmal schwieriger als die
Lösung über Diff-Rechnung.

Wer will, kann oder sollte sich den schon das Ungetüm von allgemeiner
Formel  merken. Hier wird eine Kompliziertheit vorgegaukelt die gar
nicht notwendig ist.

mfg Georg

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Quadratische Gleichungen werden auf der Realschule und der Hauptschule weit ab von der Differenzialrechnung auch behandelt.

Und sowas ist bitte wie die Formeln der Chemie nicht auswenig zu lernen sondern das System dahinter zu verstehen und anwenden zu können.

Man kann es aber auch überspringen und Sowas gleich mit pq oder abc-Formel lösen.

f(x) = a·x^2 + b·x + c

Will man Nullstellen bestimmen könnte man die abc-Formel nehmen

x = (- b ± √(b^2 - 4·a·c)) / (2·a)

Da die Nullstellen symmetrisch mit ± um die x-Koordinate des Scheitelpunkts herum liegen liegen ist

Sx = - b / (2·a)

die x-Koordinate des Scheitelpunktes. Eine Formel gemerkt. 2 Fliegen geschlagen.

Die y-Koordinate bekommt man wie jede andere y-Koordinate durch einsetzen in die Funktion

Sy = f(- b / (2a)) = a·(- b/(2·a))^2 + b·(- b/(2·a)) + c = c - b^2/(4·a)

Das kann man tatsächlich so allgemein mit den Schülern mal durchrechnen. Dabei steht das Lernen dieser Formel gar nicht so sehr im Vordergrund sondern vielmehr die strukturierte herangehensweise und der gekonnte Umgang mit solchen Termen.

Viele Schüler in der Oberstufe scheitern nicht selber an den Verfahren der Oberstufe. Sondern eher am Umgang mit solchen Termen.