Unecht gebrochenrationale Funktion Nullstellen Extrema Wendepunkt

Question

Gegeben: f_a (x) = x^2-a^2 / x^2+a^2  mit a \in R⁺ beliebig, aber fest und x \in R.

für a nehme ich die 3.

a) Welcher Typ: Unecht gebrochenrationale Funktion.

b) Nullstellen

 x^2-3^2=0

x^2=9  I wurzel anwenden

x = +/-3

Beides eingesetzt im Nenner ergibt ungleich 0. Also x₀₁=3, x₀₂=-3.

c)Schnittpunkte mit der y-Acshe.

x=0 in der Ausgangsformel ergibt: y=-1

d) Extrema

y'= 36x / (x²+9)²   I Hab ich mich hier schon verrannt, da ich nicht mehr weiter weiss

e) Wendepunkte

Comments

für a nehme ich die 3.

Habt ihr das so in der Schule gelernt ? Generell wurd hier nicht einfach für a irgendein selbst ausgedachter Wert genommen sondern das a einfach stehen gelassen.

Answer 1

f(x) = (x^2 - a^2) / (x^2 + a^2) = 1 - 2·a^2/(x^2 + a^2)

f'(x) = 4·a^2·x / (x^2 + a^2)^2

f''(x) = 4·a^2·(a^2 - 3·x^2) / (x^2 + a^2)^3

Symmetrie: Erkennbare Achsensymmetrie

Nullstellen Zähler = 0

x^2 - a^2 = 0 --> x = -a ∨ x = a

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = - a^2 / a^2 = -1

Extrempunkte f'(x) = 0

4·a^2·x = 0 --> x = 0 --> TP(0 | -1)

Wendepunkte f''(x) = 0

4·a^2·(a^2 - 3·x^2) = 0
a^2 - 3·x^2 = 0 --> x = ± √3/3·a

f(√3/3·a) = - 1/2 --> WP(± √3/3·a | - 1/2)

Comments

Ich zerbrech mir den Kopf, aber komme seit Tagen nicht drauf wie man im ersten Schritt auf: f(x) = (x² - a²) / (x² + a²) = 1 - 2·a²/(x² + a²)  kommt?

Und bei den Wendepunkten, wenn es möglich ist, die einzelnen Rechenschritte.

a² - 3·x² = 0 --> x = ± √3/3·a

f(√3/3·a) = - 1/2 --> WP(± √3/3·a | - 1/2)

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Du kannst die Polynomdivision nehmen oder günstig den Zähler verändern

(x^2 - a^2) / (x^2 + a^2) 

= (x^2 + a^2 - 2a^2) / (x^2 + a^2) 

= (x^2 + a^2) / (x^2 + a^2) - 2a^2 / (x^2 + a^2)

= 1 - 2a^2 / (x^2 + a^2)

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4·a^2·(a^2 - 3·x^2) = 0 

a^2 - 3·x^2 = 0

a^2 = 3·x^2

a^2/3 = x^2

x = ± √(a^2/3) = ± √(1/3) * a = ± √(3/9) * a = ± √3/3 * a