Flächeninhalt Polygone

Question

Ein Polygon sei einem Kreis umschrieben. Das bedeutet, dass jede Seite des Polygons den Kreis in genau einen Punkt berührt. Es sei u der Umfang des Polygons und r der Radius des Kreises. Beweisen Sie, dass dann der Flächeninhalt A des Polygons: A = 1/2 *  r * u ist. 

Danke :) 

Answer 1

Jede Seite berührt den Kreis in einem Punkt. Sie ist also Tangente an den Kreis und hat damit den Abstand r

Berechne ich also das Dreieck sich aus einer Seite und dem Mittelpunkt des Kreise ergibt bekomme ich

A = 1/2 * s * r

Damit ist s die Seitenlange und r der Radius. Mach ich das für jede Seite s bekomme ich

A = 1/2 * (s1 + s2 + s3 + ...) * r

Für die Summe aller Seiten kann ich aber auch den Umfang einsetzen

A = 1/2 * u * r

Comments

Kurze Frage noch: Ich habe ein Viereck mit einem Inkreis. Wie teile ich dann das Dreieck ein? :D Irgendwie habe ich keine Vorstellung. Habe es mir mal aufgemalt.

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Du hast die 4 Eckpunkte des Vierecks und den Mittelpunkt des Inkreises. Nun ziehst du von jeder Ecke des Vierecks eine Strecke zum Mittelpunkt des Inkreises.

Damit hast du 4 Dreiecke.