Vereinfachen des Schlusstermes der Ableitungsfunktion durch die Produkt- und Faktorregel

Question

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\frac{3}{\sqrt{x}}\right] \)
\( =3 \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right] \)
\( =3 \cdot\left(-\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[\sqrt{x}]}{x}\right) \)
\( =-\frac{3 \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}}{x} \)
\( =-\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} \)

Wie komme ich denn von -[(3)/2x^{2/3})] auf -3/(2x*√x)   ?

Es gilt ja x²=√x und im Zähler oben wurde x^{3/2} als solches behandelt wenn -3/(2x*√x)  heraus kommen soll.

Answer 1

f ( x ) = 3 / √ x
f ( x ) = 3 / x^{1/2}
f ( x ) = 3 * x^{-1/2}
f ´( x ) = 3 * (-1/2)*x^{-1/2-1}
f ´( x ) = -3/2 * x^{-3/2}
kann man so stehen lassen oder auch so schreiben
f ´( x ) = -3/2 / x^{3/2}
f ´( x ) = -3/2 / √ x^3
√ x^3 = √ ( x^2 * x ) = √ x^2 * √ x = x * √ x

Answer 2

Wie komme ich denn von -[(3)/2x^{2/3})] auf -3/(2x*√x)   ?

Durch Bruchrechnung. Löse den Doppelbruch auf, indem Du entweder den Zähler mit dem Kehrwert 1/x des Nenners multiplizierst oder indem Du den Bruch mit 1/x erweiterst. In beiden Fällen bekommst Du sofort das angegebene Ergebnis.

Ich würde allerdings \(\left(-\frac{3}{2x\cdot\sqrt{x}}\right)\) oder \(\left(-\frac 32\cdot x^{-\frac 32} \right)\) als Darstellung bevorzugen.