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führe eine  modellrechnung für den verbrauch eines rohstoffs durch, wenn folgende daten angenmmen werden: Aktueller Weltjahresverbrauch V0:10 millionen tonnen; jährliche zuwachsrate:3%; reserve M: 500Millionen tonnen

a) wie lauten die verbrauchswerte V1,V2, nach einem,zwei, usw. Jahren. Wlche folge liegt vor?

b) in wie vielen jahren verdoppelt sich der Jahresverbrauch?

c) wie lange reichen die reserven?

d) angenommen, die Reserven könnten auf das 10-fache gesteigert werden. wie lange reichen die reserven dann?

e)angenommen, es würde gelingen, die Verbrauchssteigerung von V0 auf V1 einzufriern, d.h. alle jährlichen verbrauchssteigerungen bleiben gleich V1-V0. wie lange die Reserven unter dieser voraussetzung?

f) wie lange reiche die reserven, wenn die jährliche verbrauchssteigerung nicht 3%, sondern nur 1% beträgt?

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führe eine  modellrechnung für den verbrauch eines rohstoffs durch, wenn folgende daten angenmmen werden: Aktueller Weltjahresverbrauch V0:10 millionen tonnen; jährliche zuwachsrate:3%; reserve M: 500Millionen tonnen

a) wie lauten die verbrauchswerte V1,V2, nach einem,zwei, usw. Jahren. Wlche folge liegt vor?

v1=10 300 000   v2 = 10 609 000 geo. Folge mit

Anfangswert a= 10 000 000 und q=1,03

b) in wie vielen jahren verdoppelt sich der Jahresverbrauch?

1,03^n = 2

n*ln(1.03) = ln(2)  gibt n = ln(2) / ln(1,03) = 23,45  also nach 24 Jahren verdoppelt

c) wie lange reichen die reserven? rechne mit Millionen:

500 = 10 + 10*1,03^1 + 10*1,03^2 + 10*1,03^3 + .... 10 *1,03 n-1

rechts steht eine geo. Reihe, also

500 = 10 * ( 1,03^n - 1 ) / (1,03 - 1)

50 = ( 1,03^n - 1 ) / 0,03

1,5 = 1,03^n - 1

2,5 = 1,03^n

n = ln(2,5) / ln (1 ,03) = 30,99   also etwa 31 Jahre.



d) angenommen, die Reserven könnten auf das 10-fache gesteigert werden. wie lange reichen die reserven dann?

500 = ( 1,03^n - 1 ) / 0,03

15 = 1,03^n - 1

16 = 1,03 ^n

n = ln(16) / ln (1,03) = 93,8   also etwa 94 Jahre


e)angenommen, es würde gelingen, die Verbrauchssteigerung von V0 auf V1 einzufriern, d.h. alle jährlichen verbrauchssteigerungen bleiben gleich V1-V0. wie lange die Reserven unter dieser voraussetzung?

dann ist es arithmetisch mit d= 300 000

dann ist die Summe nach n Jahren

( n/2 )*   ( 2 *  10 000 000  + (n-1) * 300 000 )  =  500 000 000

10 000 000n + 150 000 (n-1) * n = 500 000 000

ausrechnen gibt n = 33,58

f) wie lange reiche die reserven, wenn die jährliche verbrauchssteigerung nicht 3%, sondern nur 1% beträgt?

wie c mit 1,01 statt 1,03

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