führe eine modellrechnung für den verbrauch eines rohstoffs durch, wenn folgende daten angenmmen werden: Aktueller Weltjahresverbrauch V0:10 millionen tonnen; jährliche zuwachsrate:3%; reserve M: 500Millionen tonnen
a) wie lauten die verbrauchswerte V1,V2, nach einem,zwei, usw. Jahren. Wlche folge liegt vor?
v1=10 300 000 v2 = 10 609 000 geo. Folge mit
Anfangswert a= 10 000 000 und q=1,03
b) in wie vielen jahren verdoppelt sich der Jahresverbrauch?
1,03^n = 2
n*ln(1.03) = ln(2) gibt n = ln(2) / ln(1,03) = 23,45 also nach 24 Jahren verdoppelt
c) wie lange reichen die reserven? rechne mit Millionen:
500 = 10 + 10*1,03^1 + 10*1,03^2 + 10*1,03^3 + .... 10 *1,03 n-1
rechts steht eine geo. Reihe, also
500 = 10 * ( 1,03^n - 1 ) / (1,03 - 1)
50 = ( 1,03^n - 1 ) / 0,03
1,5 = 1,03^n - 1
2,5 = 1,03^n
n = ln(2,5) / ln (1 ,03) = 30,99 also etwa 31 Jahre.
d) angenommen, die Reserven könnten auf das 10-fache gesteigert werden. wie lange reichen die reserven dann?
500 = ( 1,03^n - 1 ) / 0,03
15 = 1,03^n - 1
16 = 1,03 ^n
n = ln(16) / ln (1,03) = 93,8 also etwa 94 Jahre
e)angenommen, es würde gelingen, die Verbrauchssteigerung von V0 auf V1 einzufriern, d.h. alle jährlichen verbrauchssteigerungen bleiben gleich V1-V0. wie lange die Reserven unter dieser voraussetzung?
dann ist es arithmetisch mit d= 300 000
dann ist die Summe nach n Jahren
( n/2 )* ( 2 * 10 000 000 + (n-1) * 300 000 ) = 500 000 000
10 000 000n + 150 000 (n-1) * n = 500 000 000
ausrechnen gibt n = 33,58
f) wie lange reiche die reserven, wenn die jährliche verbrauchssteigerung nicht 3%, sondern nur 1% beträgt?
wie c mit 1,01 statt 1,03
