Aufgabe:
Alle in dieser Aufgabe auftauchenden Vektorräume sind als Vektorräume über dem Körper \( \mathbb{R} \) aufzufassen. Welche der folgenden Funktionen sind linear, welche nicht (natürlich mit Begründung)?
a) \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto x_{1} x_{2} \),
b) \( G: \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, \mathbb{R}) \) definiert durch
\( (G(f))(n):=f(n) \)
für \( f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) und \( n \in \mathbb{N} \),
c) \( H: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, \mathbb{R}) \) nekursiv wie folgt definiert: Für \( \left(x_{0}, x_{1}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) seien
\( \left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(0):=x_{0} \quad \text { und } \quad\left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(1):=x_{1} \)
und für \( n \geqslant 0 \)
\( \left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(n+2):=\left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(n)+\left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(n+1) \)
Ansatz/Problem:
Welche der folgenden Funktionen sind linear und welche nicht? Bsp. F: R^2->R, (x1,x2) → x1*x2 usw.
Die auftauchenden Vektorräume sind als Vektorräume über dem Körper R aufzufassen.
Welche der folgenden Funktionen sind linear und welche nicht linear? Bitte mit Begründung.
a) F : R2 →R, (x1,x2) → x1x2,
b) G : Abb(R,R) → Abb(N,R) denfiniert durch (G(f))(n) := f(n) für f ∈ Abb(R,R) und n ∈N,
c) H : R2 → Abb(N,R) rekursiv wie folgt denfiniert: Für (x0,x1) ∈ R2
seien
(H(x0,x1))(0) := x0 und (H(x0,x1))(1) := x1
und für n > 0
(H(x0,x1))(n + 2) := (H(x0,x1))(n) + (H(x0,x1))(n + 1).
