Bestimmen Sie eine Basis des im R-Vektorraum R^4 durch die Vektoren aufgespannten Untervektorraums

Question

Ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe angehen soll bzw. ich komme hier nicht weiter. 
Ich würde jetzt alle Untervektoren in das LGS stellen mit = 0 . Ist der Ansatz richtig ?
Wenn ja weiß ich nun nicht weiter ^^

Aufgabe
Bestimmen Sie eine Basis des im \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \( \mathbb{R}^{4} \) durch die Vektoren
$$ \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-3} \\ {-4} \\ {7} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {7} \\ {9} \\ {-5} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-11} \\ {-14} \\ {3} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} {3} \\ {5} \\ {6} \\ {11} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} {3} \\ {9} \\ {11} \\ {13} \end{array}\right) $$
aufgespannten Untervektorraums.

Answer 1

Schreib doch alle in eine Matrix und bringe auf Stufenform, dann siehst du dim=2.
Du musst also nur 2 linear unabhängie von den 5-en auswählen,
offenbar würden der 1. und der 2. eine Basis bilden.

Comments

ich hab da nun

6  -6   6    6     6

0 10  -8    8    12

0   0 -17 17   25.5

0   0  0   161 233

wie komme ich nun die basis wäre meine frage

ich hab es ja nun in ZSF gebrach nur weiß ich nicht wie ich weiter machen soll

und was es mit dim etc auf sich hat :/

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1	-1	1	1	1	0
0	1	-2	2	3	0
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0

x₁ - x₂ +  x₃ +   x₄ +   x₅ = 0
        x2 - 2x₃+ 2x₄ + 3x₅ = 0

x₂= 2x₃ - 2x₄ - 3x₅

x₁=(2x₃ - 2x₄ - 3x₅) -x₃ - x₄ -x₅
x₁= x₃ - 3x₄ - 4x₅

(   x₃ - 3x₄ - 4x₅  )
(  2x₃ - 2x₄ - 3x₅  )
(          x₃              )
(        x₄              )
(        x₅              )

Wäre eine Basis z.B.

1

2

1

0

0

?

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Ich habe auch die Stufenform von gast bd 499.

Daran siehst du doch, es gibt zwei linear unabhängige

Zeilen und es gilt doch immer

Zeilenrang = Spaltenrang

also ist die Dimension des Unterraumes gleich 2.

Damit besteht jede Basis aus 2 Vektoren und umgekehrt

bilden je zwei linear unabhängige Vektoren von V eine

Basis, also z.B. die ersten beiden.

Geht aber auch auf dem Weg, den gast bd 499

gegangen ist ( siehe Kommentar).

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Nein, das ist keine Basis für U.
Du hast nur die verschiedenen Möglichkeiten
ausgerechnet wie du mit den 5 Vektoren den
0-Vektor darstellen kannst. Bei einer Basis darf
es aber nur die Möglichkeit "alle Faktoren sind gleich 0"
geben, also musst du drei Vektoren weglassen und
hast dann eine Basis aus zweien.