V Vektorräume über dem Körper K

Question

Ich soll entscheiden, ob die folgenden Menge V Vektorraum über dem Körper K ist

Sei V= ]0, unendlich[ und K=ℝ mit Vektoraddition definiert als x ⊕y= xy und Skalarmultiplikation gegeben durch a⊗x=x^a 

Wie prüfe ich die einzelnen Voraussetzungen hier?

Answer 1

Beispiel: Laut Vektoraumaxiomen muss k⊗(v⊕w) = (k⊗v) ⊗ (k⊗w) für alle k ∈ K, v,w ∈ V gelten. Das zeigt man so:

    k⊗(v⊕w)
= (v⊕w)^k  laut Definition ⊗
= (v·w)^k laut Definition ⊕
= v^k · w^k laut Potenzgesetzen in ℝ
= (k⊗v) · (k⊗w) laut Definition ⊗
= (k⊗v) ⊕ (k⊗w) laut Definition ⊕.

Zeige auf ähnlich weise auch die anderen Axiome.