Taylorreihe bestimmen f(x) = x^4-3xy^31

Question

Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f(x)=x^4-3xy^3 im Punkt (1,1). Könntet ihr mir bitte Helfen? Ich habe keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss. DANKE

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In der Überschrift muss es auch ^3 heißen. Die 1 ist ausversehen dazu gekommen. :-)

Answer 1

Schreib doch mal hin was Du über Taylorreihen so weisst.

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Ich muss nach x und nach y ableiten also, f_x(x,y) und f_y(x,y) und das jeweils 4 mal.

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Ich habe jeweils 4 mal abgeleitet und muss es jetzt in die Taylor-Formel einsetzen. Aber da liegt jetzt mein Problem. Ich weiß nicht wie ich es einsetzen soll.

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was hast Du denn da 4-mal abgeleitet. Und noch was, bis zu welcher Ordnung musst Du die Taylorreihe bestimmen?

Bis zu zweiten Ordnung sieht das so aus

$$ T_2f(x;a) = f(a) + (x-a)^T \nabla f(a) + \frac{1}{2} (x-a)^T H_f(a) (x-a)  $$

\( a \) ist der Entwicklungspunkt, bei Dir \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  \), \( \nabla f(a) = \begin{pmatrix} f_x(a) \\ f_y(a) \end{pmatrix}  \) der Gradient und \( H_f(a) =   \begin{pmatrix}  f_{xx}(a) & f_{xy}(a) \\ f_{yx}(a) & f_{yy}(a) \end{pmatrix} \) ist die Hesse-Matrix. Außerdem gilt \( f_{xy}(a) = f_{yx}(a)  \)

D.h. Du hättest entweder 2 oder 5 Ableitungen ausrechnen müssen, jenachdem ob Du die Taylorreihe bis 1'-ter oder 2'-ter-Ordnung entwicklen willst. Es gilt

$$  f(a) = 1^4-3\cdot 1\cdot 1^3  = -2 $$

Gib mal an was Du für den Gradient raus hast und welche Werte sich an der Stelle \( a \) ergeben.

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Mit der Ordnung wei ich nicht, steht auch nicht da. Ich habe 8 Ableitungen heraus bekommen. 4 Ableitungen nach x und 4 nach y.

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Ja Du must mal genau schreiben was Du gerechnet hast, sonst kann ich nicht helfen.

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Ich habe auch diese Aufgabe zu bearbeiten.

Bisher habe ich folgende Ableitungen:

f(x1,x2) = x⁴ - 3x₁x₂³

f_x1 ' (x1,x2) = 4x₁³ - 3x₂³                                       f_x2 ' (x1,x2) = -9x₁x₂²

f_x1 '' (x1,x2) = 12x₁² - 3x₂³                                    f_x2 '' (x1,x2) = -18x₁x₂

f_x1 ''' (x1,x2) = 24x₁ - 3x₂³                                     f_x2 ''' (x1,x2) = -18x₁

Aber wie soll ich nun mit diesen weiterarbeiten?

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Hi,

das sieht nicht richtig aus. Die Taylorformel im Mehrdimensionalen lautet

$$ Tf(x;a) = \sum_{|\alpha|\ge0}^n \frac{(x-a)^\alpha}{\alpha!}D^\alpha f(a)   $$ wobei \( a \) eine Multiindex ist. Mit dem Multiindex musst Du dich beschäftigen.

Heraus kommt folgendes, wenn man bis zur Ordnung 3 entwickelt, siehst Du hier

$$  Tf(x;a) = f(a) + f_x(a)(x-a_x)+f_y(a)(y-a_y) + \frac{1}{2} f_{xx}(a)(x-a_x)^2 + f_{xy}(a)(x-a_x)(y-a_y) + \frac{1}{2}f_{yy}(a)(y-a_y)^2 + \frac{1}{6} f_{xxx}(a)(x-a_x)^3 + \frac{1}{2}f_{xxy}(a)(x-a_x)^2(y-a_y) + \frac{1}{2}f_{xyy}(x-a_x)(y-a_y)^2 + \frac{1}{6} f_{yyy}(a)(y-a_y)^3 $$

und \( a_x = a_y = 1 \)

siehe auch hier

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!204:Das_mehrdimensionale_Taylorpolynom