taylorreihe ln((2x+4)^2) betragx < 1 x0=0

Question

f(x)  =  ln((2x+4)^2)    x0 = 0  $$\left| x \right| <1$$

Guten tag

Ich soll eine Taylorreihe um den Punkt x0 entwickeln. Ich habe aber schwierigkeiten die ersten drei ableitungen zu machen, um die n-te ableitung zu finden.

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Habt ihr im Unterricht gezeigt dass die Taylorreihe von lnx die folgende ist?


$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n $$

Answer 1

Hi, es gilt $$ln(x^y)=y \ ln(x)  \ . $$ Damit erhalten wir $$f(x)=2 \ ln(2x+4) \ , $$ was leichter abzuleiten ist, da wir jetzt nur noch einmal die Kettenregel benutzen müssen: $$f'(x) = (2x+4)' \cdot 2 \ \frac{1}{2x+4} = \frac{4}{2x+4} = \frac{2}{x+2} \ .$$ Solange du weißt, was die Ableitung vom ln() ist und die Kettenregel kennst, sollte das klappen.

Jetzt Quotientenregel: $$f''(x) = - \ \frac{2}{(x+2)^2}$$

$$f'''(x) = \frac{4}{(x+2)^3} \ .$$

Da man hier noch keine Struktur für die n-te Ableitung annehmen, sondern nur vermuten kann, helfen dir vielleicht auch noch die weiteren Ableitungen: $$f^{(4)}(x) = - \ \frac{12}{(x+2)^4}$$

$$f^{(5)}(x) = \frac{48}{(x+2)^5} \ .$$ 

Jetzt ist es offensichtlich.

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vielen dank

aber ich kriege den zähler nicht in allgemeiner form hin. so wie ich das verstanden habe ist das  ... *(n-1)

aber mit was soll ich multiplizieren?

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$$(-1)^{n+1} \cdot \quad 2 \cdot (n-1)!$$

Siehe auch hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29%5E%28n%2B1%292*%28n-1%29%21+n%3D1..10