prüfung der lagebeziehung mithilfe von parametergleichung

Question

prüfen sie ,ob die Punkte P(0/0/6),Q(3/3/3) R(3/4/3) auf der Geraden g durch A (2/2/4) und B (4/4/2) liegen

Comments

Stelle eine Parametergleichung auf und mache die Punktprobe!

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danke sehr, nur habe probleme beim aufstellen

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Das Aufstellen von Parametergleichungen aus zwei gegebenen Punkten gehört zu den allerersten Rechnungen, die man so bei diesem Thema kennenlernt. Vielleicht müsstest Du ein wenig zurückblättern, um passende Beispiele zu finden.

Answer 1

g durch A (2/2/4) und B (4/4/2)

g: x = [2, 2, 4] + r·([4, 4, 2] - [2, 2, 4]) = [2, 2, 4] + r·[2, 2, -2]

Kannst du jetzt Prüfen ob die Punkte auf dieser Geraden liegen ?

[2, 2, 4] + r·[2, 2, -2] = [0, 0, 6] ist für r = -1 erfüllt also liegt der Punkt auf der Geraden.

Answer 2

So, dann mal was Grundsätzliches zum Aufstellen einer Parametergleichung einer Geraden \(g\) aus zwei Punkten \(A\) und \(B\):

Die Grundidee besteht darin, die vorhandenen Informationen möglichst unmittelbar zu nutzen. Ich nehme daher den Ortsvektor eines der beiden Punkte als Stützvektor und einen der beiden Verbindungsvektoren zwischen den beiden Punkten als Richtungsvektor:
$$ g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AB} $$
Der Verbindungsvektor ist nicht unmittelbar bekannt, er ergibt sich aber leicht als Vektorkette vom Punkt \(A\) aus über den Ursprung zum Punkt \(B\):
$$ g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + r\cdot \left(-\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right) $$
Dies lässt sich etwas vereinfachen zu
$$ g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + r\cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \right). $$
Auch wenn es nicht zwingend erforderlich ist, mache ich es gerne so, dass ich beim Aufstellen der Gleichung zunächst vom Ursprung \(O\) nach \(A\) und schließlich von dort nach \(B\) gehe. Das hat manchmal interessante Vorteile.