Lagebeziehung zweier dreidimensionaler Geraden

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lageziehung und ggf. die Schnittpunkte der beiden Geraden .

Problem/Ansatz:

Im ersten Schritt möchte ich die Kollinearität prüfen, aber komme mit den vielen Parametern nicht zurecht. Würde mich über einen Lösungsweg freuen.

Comments

Kann deinem Rechenweg leider nicht wirklich folgen …

Wir sollen im Zuge der Kollinearitäts-Prüfung, also in Schritt 1 der Prüfung von den Lagebeziehungen, herausfinden, ob es einen Parameter gibt, mit welchem man multipiliziert vom einen Richtungsvektor zum anderen kommt.

Ich bin jetzt letztendlich in beiden Überprüfungen der Lagebeziehungen auf ein Ergebnis gekommen (im Bild angehängt), bin mir aber vor allem bei der unteren Prüfung durch das Gleichsetzen des Stützpunktes der Geraden g mit der Geraden h und die anschließende Lösung im LGS sehr unsicher, da ich dort ja 2 Werte für a wegen der Wurzel bekomme.

Würde mich freuen, wenn jemand drüberschaut. :)

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Lagebeziehung zweier dreidimensionaler Geraden

Ich denke, Gerade sind eindimensional. Was Du meinst, sind Gerade im Raum.

Answer 1

Aloha :)

Die Fläche des von den beiden Richtungsvektoren aufgespannten Parallelogramms beträgt:$$A=\left\|\begin{pmatrix}t\\2t\\-3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\6\\-t\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-2t^2+18\\-9+t^2\\6t-6t\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-2(t^2-9)\\t^2-9\\0\end{pmatrix}\right\|$$$$\phantom{A}=\left\|(t^2-9)\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\right\|=|t^2-9|\sqrt5=\sqrt5\cdot\left|(t-3)(t+3)\right|$$

Für \(t=\pm3\) ist die Fläche des Parallelogramms, das die beiden Richtungsvektoren aufspannen, gleich null. In diesen Fällen wird also gar kein Parallelogramm aufgespannt, sodass die beiden Richtungsvektoren kollinear sind. Für \(t=\pm3\) verlaufen die beiden Geraden daher parallel.

Comments

Für mich leider nicht nachvollziehbar.

Es soll nur auf Kollinearität geprüft werden und ob es einen Schnittpunkt gibt.

Ist meine Rechnung so okay oder gibt es einen Fehler?

Bzw. wie ist damit umzugehen, wenn ich für einen Parameter +- eine Zahl erhalte?

Verstehe nicht, woher nun die Darstellung mit dem Parallelogramm herkommt bzw. was du genau gerechnet hast.

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Für \(t=3\) und \(t=-3\) sind die beiden Vektoren kollinear, und nur für diese beiden Werte. Bei deiner Lösung sehe ich nur den Teil \(t=3\), weil du nur den Fall \(a=1\) betrachtet hat. Für \(a=-1\) solltest du auch die Kollinearität für \(t=-3\) erhalten.

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Danke, passt

Answer 2

Hallo

kolinear wenn

r*t=3*s;  2rt= 6s ,  -3r=-s    also s=3r in die ersten 2 einsetzen rt=9r -> r=0 oder t=9 also hast du  kolinear r beliebig wenn t=9 und s=3r

bitte rechne nach! auch ich mach Fehler

Gruß lul