Aufgabe:
Es seien die Abbildungen \( \max , \min : \mathbb{Z}_{2} \rightarrow \mathbb{Z}_{2} \) definiert durch
\( \max \{[k],[l]\}=\left\{\begin{array}{ll} {[0]} & \text { falls }[k]=[l]=[0], \\ {[1]} & \text { sonst } \end{array}, \quad \min \{[k],[l]\}=\left\{\begin{array}{ll} {[1]} & \text { falls }[k]=[l]=[1] \\ {[0]} & \text { sonst. } \end{array}\right.\right. \)
Es seien \( \mathbb{Z}_{2}^{n}:=\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \ldots \times \mathbb{Z}_{2} \) mit die Verknüpfungen \( \wedge, \vee \) gegeben durch
\( \left(\left[k_{1}\right], \ldots,\left[k_{n}\right]\right) \vee\left(\left[l_{1}\right], \ldots,\left[l_{n}\right]\right):=\left(\max \left\{\left[k_{1}\right],\left[l_{1}\right]\right\}, \ldots, \max \left\{\left[k_{n}\right],\left[l_{n}\right]\right\}\right) \)
und
\( \left(\left[k_{1}\right], \ldots,\left[k_{n}\right]\right) \wedge\left(\left[l_{1}\right], \ldots,\left[l_{n}\right]\right):=\left(\min \left\{\left[k_{1}\right],\left[l_{1}\right]\right\}, \ldots, \min \left\{\left[k_{n}\right],\left[l_{n}\right]\right\}\right) \)
i) Was sind die neutralen Elemente der Boolesche Algebra \( \left(\mathbb{Z}_{2}^{n}, \vee, \wedge, \neg\right) ? \) Finden Sie das Komplement zu \( \left(\left[k_{1}\right], \ldots,\left[k_{n}\right]\right) \in \mathbb{Z}_{2}^{n} \)
ii) Zeigen Sie, dass \( \left(\mathbb{Z}_{2}^{n}, \vee, \wedge, \neg\right) \) und \( (P(\{1, \ldots, n\}), \cup, \cap, \complement) \) isomorphe Boolesche \( \mathrm{Al}- \) gebren sind, d.h. dass ein Isomorphismus \( \varphi: P(\{1, \ldots, n\}) \rightarrow \mathbb{Z}_{2}^{n} \) existiert.
Hinweis: Setzen Sie
\( \varphi(A)=\left(\chi_{A}(1), \ldots, \chi_{A}(n)\right), \quad \text { wobei } \quad \chi_{A}(x)=\left\{\begin{array}{ll} {[1]} & \text { falls } x \in A \\ {[0]} & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
iii) Zeigen Sie, ohne den Binomialsatz zu benutzen, dass
\( \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=2^{n} \)
