Ich bin gerade dabei ein paar Eigenschaften von Householder-Matrizen zu beweisen.
Probleme habe ich gerade bei den letzten beiden Eigenschaften.
Einmal die Def. von Householder-Matrizen:
Qv = I - 2/(v^T*v) * v * v^T
wobei v Element R^n ist und I die Einheitsmatrix im nxn.
Ich soll zeigen, dass:
1.Qv*y = y äquivalent zu vT*y=0 für y Element R^n
2. Qv*v= -v
Zu 1. habe ich:
Qv*y = ( I - 2/(v^T*v) * v * v^T )* y = y - (2/(v^T*v) * v * v^T)*y
Das ist genau dann y,wenn (2/(v^T*v) * v * v^T)*y= 0
Also: (v*v^T)*y = 0 werden. Kann ich das y jetzt einfach in die Klammer reinziehen und mit v*T multiplizieren? Also ist:
(v*v^T)*y = v*(v^T*y)
Ist das eine Rechenregeln für Vektoren?
Zu 2. habe den selben Ansatz wie, bei 1. komme aber leider nicht mehr weiter.
Qv*c = ( I - 2/(v^T*v) * v * v^T )* v = v - (2/(v^T*v) * v * v^T)*v
Was muss ich hier anweden,damit sich der Bruch zu v kürzt?