Bestimme Definitionslücken und Grenzwerte der Funktion: f(x)= x/(1-x^2 ), g(x)= (x^2 -1)/(x+1)

Question

ich weiß nicht, wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll:

Bestimme die Definitionslücken und anschließend die Grenzwerte sowohl in den Definitionslücken als auch im + und - Unendlichen.

f(x)= x / (1-x² )

g(x)= (x² -1) / (x+1)

Vielen Dank für Hilfe!

Answer 1

f(x) = x / ( 1 - x^2 ).

Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Def.-Lücke : 1 -x^2 = 0.

x=1

x=-1

Geht x gegen unendlch kann die Funktion reduziert werden auf

f(x) = x / (-x^2) = - ( x/x^2) = - 1 / x

lim x -> + unendlich = 0(-)

lim x -> - unendlich = 0(+)

Geht x gegen die Def-Lücke x=1 ergibt sich

lim x -> 1-  ( etwas kleiner als eins  ) = 1 / ( 1 - 0.99999^2 ) = 1 / 0.0000001 = unendlich

lim x -> 1+ ( etwas größer als eins ) = 1 / ( 1 - 1.00001^2 ) = 1 / -0.000001 = - unendlich

Auf der negativen x-Achse punktsymmetrisch zum Ursprung. Am besten die Funktion einmal zeichnen.

 

zu b.) habe ich keine Lust mehr

mfg Georg

Answer 2

Da die Funktion keine Wurzel oder sonstige kritischen Operationen enthält, kann die einzige Lücke durch den Nenner entstehen (der ja nicht 0 werden darf). Für die Definitionslücken rechnest du also genau die Stellen aus. Die Grenzwerte bestimmst du dann, in dem du für x Werte einsestzt die sich immer näher an die Def-Lücke herantasten bzw. immer größer/kleiner werdende Werte für  unendlich.