Differentialrechnung. Kurvenpunkte von f(x) = sin(x)*cos(x) mit horizontaler Tangente?

Question

Hallo

ich komme den letzten Schritten  nicht nach.

$$f(x)\quad =\quad sinx\quad *\quad cosx\\ f'(x)\quad =\quad { cos }^{ 2 }-{ sin }^{ 2 }\\ \\ Was\quad passiert\quad in\quad diesem\quad Schritt\\ =>\quad { tan }^{ 2 }x\quad =\quad 1\\ \\ Was\quad passiert\quad in\quad diesem\quad Schritt\\ =>\quad { x }_{ k1 }\quad =\quad \frac { \pi  }{ 4 } +\quad k\pi \quad \quad \quad { y }_{ k1 }=\quad 0,5\\ { =>\quad x }_{ k2 }\quad =\quad \frac { 3\pi  }{ 4 } +\quad k\pi \quad \quad \quad { y }_{ k1 }=\quad -0,5$$

Answer 1

Erste Ableitung muss 0 sein.

Du willst daher

cos^2 (x) - sin^2(x) = 0   nach x auflösen?.   | + sin^2(x)

cos^2(x) = sin^2(x)      | : (cos^2(x) )

1 = sin^2(x) / cos^2(x) = (sin(x) / cos(x))^2 = tan^2(x).

1 = tan^2(x)

tan(x) = ±1.

Du musst wissen, welche Winkel den Tangens 1 und - 1 haben.

Nämlich z.B.: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4

Am Einheitskreis ist man hier fertig. Sonst noch beliebig oft π/2 addieren.

Comments

Überleg dir immer zuerst, ob du die Funktion vereinfachen kannst.

Bsp. hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29*cos%28x%29

f(x) = sin(x)*cos(x) = 0.5 sin(2x)

f ' (x) = 0.5 cos(2x) * 2 = cos(2x)

cos(2x) = 0 für

2x = π/2 + kπ  solltest du gleich so hinschreiben können.  | : 2

x = π/4 + kπ/2

Wegen Amplitude 0.5 kommen die gewünschten. + und - 0.5 raus.

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Vielleicht noch der Hinweis

Rechtwinkliges Dreieck Seiten a, b, c

sin a = a / c
cos a = b / c

sin a / cos a = ( a / c ) / ( b / c ) = a / b = tan a

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Mir der Schritt  wie  ich zu der 0,5 und -0,5  komme

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Du musst wissen, welche Winkel den Tangens 1 und - 1 haben

Ich kann das nicht nachvollziehen, wie ich die  Winkel errechnen kann

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( tan x )^2 = 1
tan x = ± 1

Taschenrechner tan -Taste
( wandelt den Winkel in Grad oder Bogenmass in den tangens-Wert um )

Taschenrechner steht auf  Grad : 45  - tan-Taste - Ergebnis 1
Taschenrechner steht auf  Bogenmass : π / 4 - tan - Taste - Ergebnis 1

Ich kann das nicht nachvollziehen, wie ich die  Winkel errechnen kann

Umkehrfunktion acrtan oder tan^{-1}
( wandelt den tangens-Wert in Grad oder Bogenmass um )

Taschenrechner steht auf  Grad : 1  - tan^{-1} -Taste - Ergebnis 45
Taschenrechner steht auf  Bogenmass : 1 - tan^{-1} - Taste - Ergebnis π / 4 oder 0.7854

Mir der Schritt  wie  ich zu der 0,5 und -0,5  komme

Ein Ergebnis war :
x =  π / 4
In die Ausgangsgleichung eingesetzt
f ( x ) = sin ( x ) * cos ( x )
f (  π / 4 ) = sin ( π / 4 ) * cos ( π / 4 )
f ( π / 4 ) = 0.5

Ein Punkt mit waagerechter Tangente
( π / 4 | 0.5 )
f ´ ( π / 4 ) =  sin^2  ( π / 4 ) - cos^2 ( π / 4 )
f ´ ( π / 4 ) = 0.5 - 0.5 = 0

~plot~ sin ( x ) * cos ( x ) ; 0.5 ~plot~

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Das ist von dir sehr nett, vielen Dank

Gr Sith