Gilt f(z)= g(z),wenn f(i/n) = g(i/n)

Question

Hallo.

Ich habe ein Gebiet H = { z ∈ C Im(z) > 0 }

und zwei holomorphe Funktionen:

f: H -> C

g: H -> C

Es gilt: f(i/n) = g(i/n) . n∈N

Folgt daraus, dass nun f(z) = g(z) gilt?

Habe bereits versucht Gegenbeispiele zu finden, aber bis jetzt scheitere ich an der Bedingung,dass f und g holomorph sein sollen.

Ist die Aussage richtig? Kann mir jemand beim Ansatz helfen?

Die Funktionen stimmen ja auf jeden Fall auf einem Teil der y-Achse(i-Achse) überein.

Answer 1

Die Aussage stimmt nicht. Um ein Gegenbeispiel zu konstruieren, denke an die Funktion \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, h(x):=\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\). Deren Nullstellen sind genau die Stellen \(x=\frac{1}{n}, n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\).

Übrigens: Wäre \(H\) eine offene Menge, in der die 0 enthalten wäre, dann wären \(f\) und \(g\) nach dem Identitätssatz tatsächlich gleich. Da aber bei deiner Aufgabe der Häufungspunkt der Stellen, an denen \(f\) und \(g\) übereinstimmen, nicht in \(H\) liegt, kann man diesen Satz hier nicht anwenden.

Comments

Also hätte ich als Gegenbeispiel:
f(z) = sin( PI/i*z)

und

g(z) = 0

Für f(i/n) erhalte ich sin(-PI*n) = 0 und g(i/n) = 0.

Und sin(PI/(i*z) ) ist auf dem gegebenen Gebiet H holomorph.

Danke :)