Zeigen Sie, dass durch Summierung aller Ableitungen einer Funktion f eine holomorphe Funktion g mit g(z)=f(z+1) entsteht

Question

Aufgabe:

Es sei f : ℂ→ℂ holomorph. Zeigen Sie, dass dann durch

$$ g(z):=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(z)}{k!}$$

eine in ganz ℂ holomorphe Funktion erklärt wird, für welche g(z) = f(z + 1) für alle z∈ℂ gilt.

Problem/Ansatz:

Zu zeigen, dass g holomorph ist, ist einfach, da ja in ℂ insbesondere solche Funktionen holomoprh sind, die bereits Ableitungen holomorpher Funktionen sind und da Kompositionen holomorpher Funktionen holomorph sind, insbesondere also g(z) als Summe holomorpher Funktionen f^(k)(z)/k!.

Allerdings verstehe ich nicht, wie man g(z)=f(z+1) zeigen kann.

Comments

Ist das nicht die Taylorreihe von \( f(z+1) \) um \( z \)?

---

insbesondere also g(z) als Summe holomorpher Funktionen

So einfach ist das nicht. g ist keine Summe im eigentlichen Sinn, sondern der Grenzwert einer Folge.

Ist \(f(z) := 1\) für alle z ∈ ℂ, dann ist

        \(g(z) := \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f(z)}{k}\)

keine in ganz ℂ holomorphe Funktion.

---

Ist das nicht die Taylorreihe von f(z+1) um z?

Das kommt hin, hab ich ganz vergessen!

So einfach ist das nicht. g ist keine Summe im eigentlichen Sinn, sondern der Grenzwert einer Folge.

Ist f(z):=1 für alle z ∈ ℂ, dann ist

       $$ g(z):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f(z)}{k}$$

keine in ganz ℂ holomorphe Funktion.

Wäre

$$ g(z):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(z)}{k!}=\frac{1}{0!}=1$$

nicht holomorph als konstante Funktion? (Da ja die Ableitung f'=f⁽ⁿ⁾=0 ∀n>1 ist)

---

Das Beispiel, das ich gebracht habe, sollte nicht die Aussage widerlegen, die du zeigen sollst. Es sollte aufzeigen, dass deine Argumentation (g ist holomorph weil es die Summe holomorpher Funktionen ist) nicht ausreicht.