Hallo,
wahrscheinlich soll die Aufgabe auf einen bestimmten Satz hinauslaufen. Aber man kann sie auch einfach beantworten:
$$f'=f^2 \Rightarrow \frac{1}{dz} \frac{f'(z)}{f(z)^2} =-\frac{1}{dz}f(z)^{-1}=1 \Rightarrow f(z)=\frac{1}{1-z}$$
(unter Benutzung von \(f(0)=1\). Damit ist dann \(g(z)=\ln(1-z)\) unproblematisch.
Du hast Dich übrigens bei der Bestimmung der Ableitungen vertan:
$$f'(z)=f(z)^2 \Rightarrow f''(z)=2f(z)f'(z)=2 f(z)^3$$
und so weiter. Auch auf diesem Weg gelangt man über die Taylorreihe zur angegebenen Lösung.
Gruß MatheÜeter