Geometrische Reihe p′(x)=1−x^2+x^4−x^6+x^8... in "geschlossener Form" notieren

Question

Hallöchen,

gegeben ist die Potenzreihe:

$$p(x)= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac {x^9}{9}- ...$$

"Schreiben Sie die Ableitung von p(x) in geschlossener Form (geometrische Reihe), und bestimmen Sie die Konvergenzradien von p(x) und p'(x)."

Leider weiss ich nicht, was mit geschlossener Form gemeint ist.

p'(x) = 1-x^2+x^4-x^6+x^8...

Das ist die Ableitung. Ist vielleicht damit das n-te Summenglied gemeint?

$$a_n = (-1)^n\cdot x^{2n}$$

Answer 1

p′(x)=1−x2+x4−x6+x8...

geometrische Reihe mit q = -x^2, konvergiert, wenn |q| = x^2 < 1.

p'(x) = 1/(1 - (-x^2)) = 1/(1+x^2) für -1<x<1. 

Das wäre mal die geschlossene Form der Ableitung.

p'(x) solltest du als Ableitung des arctan erkennen.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%281%2Bx%5E2%29 

Da p(0) = 0 ist p(x) in geschlossener Form

p(x) = arctan(x) + 0 = arctan(x) für -1<x<1.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan%28x%29+ 

Comments

Hallo Lu, besten Dank für Deine Hilfe! 

Wenn ich das richtig interpretiere, so ist also mit der geschlossenen Form quasi dieser Grenzwert von unendlichen Reihen gemeint. Dort setzt man das entsprechende q ein. So weit so richtig? 

Du hast gleich noch die Teilaufgabe b) beantwortet, ohne dass ich sie notiert hätte. Formidabel! (: 

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Ja genau. Etwas ohne Pünktchen, wie 

p'(x) = 1/(1 - (-x²)) = 1/(1+x²)

und

p(x) = arctan(x) für -1<x<1.

Anmerkung: Auch mit den Pünktchen ist der "Grenzwert" gemeint.