Eigenwert von f und Adjungierte von f

Question

die Aufgabe ist:

Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum, K=ℝ oder K=ℂ und f ein Endomorphismus. Zeigen Sie:

λ∈K ist ein Eigenwert von f <=> λ¯ ist ein Eigenwert von f^ad. (λ¯ ist das komplex Konjugierte zu λ)

Mein Ansatz sieht wie folgt aus:

Es ist λ∈K ein Eigenwert von f. Also existiert ein v∈V mit f(v)=λv bzw. f(v)-λv=0. Dann folgt für das Skalarprodukt:

0 = <f(v)-λv,f(v)-λv> = <f(v),f(v)>-λ<f(v).v>-λ¯<v,f(v)>+λλ¯<v,v>.

Wenn ich nun wüsste, dass f selbstadjungiert ist, dann würde <f^ad(v),f^ad(v)>-λ<f^ad(v).v>-λ¯<v,f^ad(v)>+λλ¯<v,v> = 0 und damit f^ad(v)=λ¯v folgen. Doch leider wird nichts weiter vorausgesetzt und ich weiß nicht, wie ich das Gewünschte damit folgern soll. Hat jemand einen Ansatz für mich?

Answer 1

es gilt

\( v \circ f^{ad}(v) = f(v) \circ v = \lambda v \circ v =  \lambda (v \circ v) = v \circ \overline{\lambda} v \).

Daher ist \( \overline{\lambda} \) ein Eigenwert von \( f^{ad} \) genau dann, wenn \( \lambda \) ein Eigenwert von \( f \) ist. (Die Rückrichtung funktioniert durch Vertauschen der Funktionen und der Eigenwerte.)

MfG

Mister

Comments

 

wenn man jetzt alles auf eine Seite zieht, erhält man ja

<v, f^ad(v)-λ¯v>=0. 

Wieso kann man daraus folgern, dass f^ad(v)=λ¯v sein muss?

Gruß