Gleichung mit Exponentialfunktion: "es gibt ein x e R , sodass gilt: e^x-3e^{-x} = 2"

Question

Hallo

habe folgende aufgabe:

es gibt ein x e R , sodass gilt:  e^x-3e^{-x} = 2

habe das nach -2=3e^{-x} - e^x umgestellt.

danach -2/3 = e^-x - e^x

= -2/3 = e/x - e^x

und weiter bin ich nicht gekommen.kann mir einer weiter helfen.

Comments

Du musst nur zeigen, dass es ein solches x gibt?

Falls du es aufrechnen möchtest, substituiere u = e^x.

Du kommst in wenigen Schritten zu einer quadratischen Gleichung für u.

Falls die Gleichung lösbar für u:

Rücksubst. nicht vergessen.

---

Meinst du das so:

e^x=u

also folgt u-3u=2

=-2u=2 | :(-2)

u=-1

e^x=-1

da kein ln(-1) existiert gibt es kein solches x ..==??

---

e^x=u

also folgt u-3u^{-1}=2

Du hast "hoch (-1)" vergessen. u^{-1} = 1/u

Answer 1

Du kannst die Lösung z.B. ausrechnen. Dann ist gezeigt, dass sie existiert.

e^x-3e^-x = 2          | u = e^x   > 0

u - 3/u = 2         |*u

u^2 - 3 = 2u

u^2 - 2u - 3 = 0     | faktorisieren (oder pq-Formel)

(u -3)(u+1) = 0 

u1 = 3

u2 = -1

u1 = 3 

----> e^x1 = 3 | ln

x = ln(3) 

u2 = -1

e^x2 = -1 geht nicht! e^x ist immer grösser als 0.

==> x = ln(3) ist die einzige Lösung der Gleichung.