Hallo
habe folgende aufgabe:
es gibt ein x e R , sodass gilt: e^x-3e^{-x} = 2
habe das nach -2=3e^{-x} - e^x umgestellt.
danach -2/3 = e^-x - e^x
= -2/3 = e/x - e^x
und weiter bin ich nicht gekommen.kann mir einer weiter helfen.
Du musst nur zeigen, dass es ein solches x gibt?
Falls du es aufrechnen möchtest, substituiere u = e^x.
Du kommst in wenigen Schritten zu einer quadratischen Gleichung für u.
Falls die Gleichung lösbar für u:
Rücksubst. nicht vergessen.
Meinst du das so:
e^x=u
also folgt u-3u=2
=-2u=2 | :(-2)
u=-1
e^x=-1
da kein ln(-1) existiert gibt es kein solches x ..==??
ex=u
also folgt u-3u^{-1}=2
Du hast "hoch (-1)" vergessen. u^{-1} = 1/u
Du kannst die Lösung z.B. ausrechnen. Dann ist gezeigt, dass sie existiert.
ex-3e-x = 2 | u = e^x > 0
u - 3/u = 2 |*u
u^2 - 3 = 2u
u^2 - 2u - 3 = 0 | faktorisieren (oder pq-Formel)
(u -3)(u+1) = 0
u1 = 3
u2 = -1
----> e^x1 = 3 | ln
x = ln(3)
e^x2 = -1 geht nicht! e^x ist immer grösser als 0.
==> x = ln(3) ist die einzige Lösung der Gleichung.
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