Berechne die komplexen Nullstellen des Polynoms: P(x) = x^4 + x^3 + 6x^2 + 8x + 8

Question

Hallo liebe Freunde,

könnte jemand von euch mir helfen? Es geht um dieses Polynom, das in ℝ keine Nullstellen besitzt, sondern nur in ℂ. 

$$p(x) =        { x }^{ 4 }\quad +{ \quad x }^{ 3 }\quad +\quad { 6x }^{ 2 }\quad +\quad { 8x\quad  }+\quad 8$$

Habt ihr vielleicht einen Ansatz für mich? Ich meine, das es 4 Nullstellen gibt, aber ich hab keinen Plan, wie ich ausklammern soll, oder ähnliches, da ich keine Nullstelle aus ℝ und ℂ für eine Polynomdivision habe!

Liebe Grüße

Frosi

Comments

Es gibt sicher vier Nullstellen und man könnte zunächst in zwei quadratische Faktoren zerlegen, was im Reellen geschehen kann.

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Ich habe das jetzt so verstanden, dass du das meinst:

$${ x }^{ 4 }\quad +{ \quad x }^{ 3 }\quad +\quad { 6x }^{ 2 }\quad +\quad { 8x\quad  }+\quad 8\quad =\\  \quad { x }^{ 2 }\quad *\quad ({ \quad x }^{ 2 }\quad +\quad x\quad +\quad 6\quad +\quad \frac { 8 }{ x } \quad )\quad +\quad 8\\ =\quad { x }\quad *\quad (\quad x\quad *\quad ({ x }^{ 2 }\quad +\quad x\quad +\quad 6)\quad +8\quad )\quad +\quad 8\\ $$

stimmt das so?

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Nein, so meinte ich das nicht. Es gibt Verfahren zum Faktorisieren von Polynomen, die ich aber nicht mehr in Erinnerung habe. Hilfsweise würde ich \((x^2+px+q)(x^2+rx+s)\) ausmultiplizieren und die Koeffizienten vergleichen.

Answer 1

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-> wo hast du diese Aufgabe aufgegabelt?

-> klar ist : es wird vier Lösungen geben, wobei jeweils zwei zueinander
  ... konjugiert komplex sein müssen ( warum ? )

-> leider  wird es für dieses Beispiel keine zumutbare  Rechnung geben
..  um genaue Werte zu ermitteln

-> falls du an Näherungswerten interessiert bist:

-> x1/2 = 0.3.. (+ - )  i * 2,3...
-> x3/4 = - 0,8... (+ - )  i * 0,9

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Comments

Hahahahaha, diese Aufgabe hat uns unser Dozent gestellt, wobei ich mich auch fragte, wie wir das lösen sollen. Die Näherungswerte werde ich auf jeden Fall notieren, aber leider bringt sich zu beschweren beim Tutor, bzw. beim Dozenten, nicht viel! 

Wenn wir einen Lösungsweg bekommen, werde ich diesen noch hier als Antwort posten, für zukünftige Generationen, oder bis jemand anderes sie hier gelöst hat! ;)

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Liebe Grüße

Frosi

Answer 2

Es gibt mehrere Ansätze für Spezialfälle unter Wikipedias "Quartische_Gleichung".  

Dann gibt es Substitutionen über die kubische Hilfsgleichung

8*y³-24*y²-48*y+120  

die dann mit der Cardanischen Formel gelöst werden kann.  

Es gibt aber auch eine universelle PQRSTUVW Formel analog zur pq-Formel: einsetzen fertig.

Die beiden letzten Algorithmen werden unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php  

vorgerechnet: