momentane änderungrate von Faktor B bei erhöhung von Faktor A

Question

Bitte Hilfe! Kenn mich leider hinten und vorne nicht aus:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion

q=F( x₁ , x₂ )= e^{0.2x₁ + 0.2x₂ + 0.45x₁x₂} .

Dabei bezeichnen x₁ und x₂ die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A und B und q=F( x₁ , x₂ ) die pro Monat hergestellte Menge des Produkts. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination ( x₁ , x₂ )=(2.7,1.3).

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von Faktor B bei Erhöhung von Faktor A um eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von F(2.7,1.3) Mengeneinheiten.

Answer 1

f ( x1, x2 ) = e hoch ( 0.2x1 + 0.2x2 + 0.45x1x2 )

Partitielle Ableitung vorbereiten

B ( x2 ) bleibt gleich, A ( x1 ) ist variabel
f ( x1, x2 ) = e hoch ( 0.2x1 + 0.2x2 + 0.45x1x2 )
f ( x1, 1.3 ) = e hoch ( 0.2x1 + 0.2*1.3 + 0.45x1*1.3 )
f ( x1, 1.3 ) = e hoch ( 0.2 * x1 + 0.26 +0.585 * x1 )
f ( x1, 1.3 ) = e hoch ( 0.26 +0.785 * x1 )

Ableitung
f _x1´ ( x1, 1.3 ) = e hoch ( 0.26 +0.785 * x1 ) * 0.785
f _x1´ ( 2.7 , 1.3 ) = e hoch ( 0.26 +0.785 * 2.7 ) * 0.785
f _x1´ ( 2.7 , 1.3 ) = 8.478

Answer 2

Lösung:

F(x, y)= e^{0.2·x + 0.2·y + 0.45·x·y}

Sei Fx = dF/dx und Fy = dF/dy

Fx(x, y)= e^{0.2·x + 0.2·y + 0.45·x·y}·(0.45·y + 0.2)

Fy(x, y)= e^{0.2·x + 0.2·y + 0.45·x·y}·(0.45·x + 0.2)

Dann gilt für die Ableitung:

y' = - Fx(x, y) / Fy(x, y)

y' = - e^{0.2·x + 0.2·y + 0.45·x·y}·(0.45·y + 0.2) / (e^{0.2·x + 0.2·y + 0.45·x·y}·(0.45·x + 0.2))

y' = - (0.45·y + 0.2) / (0.45·x + 0.2)

y' = - (0.45·1.3 + 0.2) / (0.45·2.7 + 0.2) = - 157/283 = - 0.5548

Links:

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

Comments

@mathecoach
ich bin durch den Link nicht schlauer geworden.

Was ist bei meinem Lösungsansatz falsch ?

f ( x,y ) = term
y = 1.3 soll const sein
f ( x,1.3 ) nach x ableiten
f  ´ ( 2.7,1.3 ) einsetzen und die Steigung bei 2.7 ermitteln 

mfg Georg

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f(x, y) ist das Produktionsniveau. Dieses sollte konstant bleiben und nicht die Faktoreinsätze. Gefragt ist um wie viel ändert sich der Faktoreinsatz y wenn ich x verändere.

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F(2.7, 1.3) = EXP(0.2·2.7 + 0.2·1.3 + 0.45·2.7·1.3) = 10.80

Es geht also im folgenden einfach um die Funktion

e^{0.2·x + 0.2·y + 0.45·x·y} = 10.80

Dieses ist keine explizite Funktion in der Form y = f(x) sondern eine Funktion in impliziter Form. Daher ist das hier etwas schwieriger Abzuleiten.

Grafisch sollte das in etwa wie folgt aussehen:

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e^{0.2·x + 0.2·y + 0.45·x·y} = 10.80
nach y umstellen
0.2·x + 0.2·y + 0.45·x·y = ln (10.80  )
y * ( 0.2 + 0.45 * x ) = 2.38 - 0.2 * x
y = ( 2.38 - 0.2 * x ) / ( 0.2 + 0.45 * x )
y ´ = Lindwurm übers Matheprogramm

y ´( 2.7 ) = -0.54

Mathematisch also gar nicht so schwierig.
Man mußte bloß wissen was mit der Fragestellung überhaupt
gemeint war.