Lagrange: Gleichungen richtig umstellen, einsetzen und durch Einsetzungsverfahren zum Ergebnis kommen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes das Minimum der Funktion \( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2} \) unter der Nebenbedingung \( g\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}+1=0 . \) Geben Sie eine kurze geometrische Interpretation dieses Optimierungsproblems.

Ansatz/Problem:

Habe bisher das hier ausgearbeitet:

Hab erst den Lagrange aufgestellt, dann abgeleitet, dann die Gleichungen umgestellt und dann eingesetzt, ABER ist das so richtig? Ich wollte jetzt eigentlich da drauf hinaus Lambda noch zu ermitteln... aber am Ende muss ich auf ein Ergebnis kommen wie und selbst wenn ich dann Lambda ermittelt habe, was muss ich tun um am Ende die Aufgabe zu lösen (also ohne grafische Lösung erst mal) und wenn das richtig ist was ich beim Einsetzten gemacht habe, wie geh ich an die Brüche mit den Potenzen richtig ran? Kann ich die 2 im Nenner und die Potenz einfach kürzen (glaube eher nicht oder?)

Comments

Soll als Nebenbedindung \(  g(x,y) = 0 \) gelten?

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Also die Lagrange Funktion lautet

$$  L(x,y,\lambda) =  f(x,y) + \lambda g(x,y) $$ Das Gleichungssystem

\( L_x = 0 \) und\( L_y = 0 \) und \( L_\lambda = 0 \)  muss gelöst werden für \( x, y \text{ und } \lambda \)

Als reelle Lösung ergibt sich \( x= 0, y=1, \lambda=2 \)

Die Hesse Matrix ergibt sich zu \( \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2  \end{pmatrix}  \) damit sind die Eigenwerte alle \( > 0 \) und die Hesse Matrix ist positiv definit. Also liegt an der berechneten Stelle ein Minimum vor.

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hä? des ist ja eine coole Vorgehensweise...

dann mach ich das auch mit der Hesse und nicht so wie wir das gemacht haben...

Aber wie bist du in der Hesse Matrix auf die 6, 0 und 0, 2 gekommen?

Danke schon mal für Deine Tips!

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Du rechnest die Hesse Matrix aus und setzt die gefundenen Werte für die Extrema ein.

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ja aber ich meinte wie du an dier Werte in der Matrix rangekommen bist?

ich hab nämlich nachdem ich meine Gleichungen ausgerechnet und eingesetzt habe nur Murks rausbekommen.... -.-

Kann auch schon an der Uhrzeit liegen, aber was mach ich falsch?

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Hi, für \( x_1 \) bekommst Du auch noch eine negative Lösung, da Du ja die Wurzel ziehst, also \( x_1  = \pm \sqrt{-1.5}\) Aber das sind die komplexen Lösungen.#

MIt Deinen Nummerierungen ergibt sich aber auch noch folgende Lösung
Aus (1) ergibt sich \( x_1 = 0 \),  aus (3) folgt \( x_2 = 1 \) und damit aus (2) \( \lambda = 2 \)
Mit diesen Werten kommst Du in der Hesse Matrix auf meine Lösung.

Answer 1

$$ f(x,y)=x^2+y^2 $$NB:$$x^2-y+1$$
$$ \Lambda(x,y,\lambda)=x^2+y^2 +\lambda (x^2-y+1)$$
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial x}(x,y,\lambda)=2x +\lambda \cdot  2x$$
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial y}(x,y,\lambda)=2y -\lambda $$
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial \lambda}(x,y,\lambda)=x^2-y+1$$---
$$ 0=2x +\lambda \cdot 2x$$
$$ 0=2y -\lambda $$
$$ 0=x^2-y+1$$---
$$ 0=2x \cdot (1+ \lambda )$$
Hier kann man nach dem Nullproduktsatz bereits erkennen:
$$ 0=2x $$
$$ 0=1+ \lambda $$
$$ x_1=0 $$
$$  \lambda =-1$$
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$$  \lambda =2y$$
$$  y_3=\frac{\lambda}{ 2}$$
$$  y_3=-\frac{1}{ 2}$$
---
$$ 0=(x_1)^2-y+1$$
$$ y_1=(x_1)^2+1$$
$$ y_1=(0)^2+1$$
$$ y_1=1$$
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$$ 0=x^2-y_3+1$$
$$ y_3-1=x^2$$
$$ -\frac{1}{ 2}-1=x^2$$
keine weitere reelle Lösung für x, da negative Wurzeldeterminante vorliegt

Comments

$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial x}(x,y,\lambda)=2x +\lambda \cdot  2x$$$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial y}(x,y,\lambda)=2y -\lambda $$ $$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial \lambda}(x,y,\lambda)=x^2-y+1$$
Die 2. Ableitungen:
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial x\partial x}(x,y,\lambda)=2 +\lambda \cdot  2$$
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial x\partial y}(x,y,\lambda)=0 $$
 $$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial x \partial \lambda}(x,y,\lambda)=2x $$
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial y\partial x}(x,y,\lambda)=0$$

$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial y\partial y}(x,y,\lambda)=2 $$
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial y \partial \lambda }(x,y,\lambda)=-1$$
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial \lambda \partial x}(x,y,\lambda)=2x$$
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial \lambda \partial y}(x,y,\lambda)=-1$$
$$ \frac{ \partial \Lambda}{\partial \lambda \partial \lambda}(x,y,\lambda )=0$$