Beweis per Induktion...komme nicht ganz weiter

Question

Hallo

Die Summe der natürlichen Zahlen ist gegeben durch:
 $$ \sum_{i=1}^{n}{i}=\frac { n(n+1) }{ 2 } $$

$$ I.A: \sum_{i=1}^{1}{i=1}=\frac { 2 }{ 2 }=1$$ der Fall für n=1 ist korrekt. Und jetzt will ich es für n+1 zeigen

$$ I.A: \sum_{i=1}^{1}{i=1}=\frac { 2 }{ 2 }=1$$
$$ I.V:\sum_{i=1}^{n}{i=\frac { n(n+1 )}{ 2 }} \\\sum_{i=1}^{n+1}{i}=\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 }$$

wie mache ich nun weiter? Ich habe bissl Probleme mit dem Summenzeichen...

Answer 1

Spalte die Summe auf in \(\sum_{i=1}^{n+1} i = \sum_{i=1}^n i +(n+1)  \) und wende dann auf den ersten Term die IV an. Danach zusammenfassen und fertig.

Comments

Hallo Ullim,

genau das mit dem abspalten der Summe verstehe ich nicht ganz. Könntest Du mir das bitte ausführlicher erklären? Ich wäre dir so dankbar. Am Ende mit dem Zusammenfassen das packe ich :)

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$$  \sum_{i=1}^{n+1} i = 1+2+3 \cdots n+(n+1)  $$

Jetzt ist $$  1+2+3 \cdots n = \sum_{i=1}^n i $$

Ist es jetzt klarer?

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Ahsoo ja jetzt ist es klarer, aber was genau bringt mir jetzt das abspalten der summe? :/

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$$ \sum_{k=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} $$ nach Induktionsvoraussetzung.

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Das Prinzip bei dem Beweis per Induktion  bei summen ist meistens,  dass du das Letzte bzw. das erste Glied einer Summe Abspaltest,  so dass du ein Glied plus die Summe hast,  für die du bereits angenommen hast dass deine Gleichung gilt.

Dann kannst du einfach für diese Summe die Induktionsverraussetzung Einsetzen und musst meistens noch sie Addition mit dem einzelnen Glied umformen bzw. zusammenfassen

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@Ullim und  @Marvin812: Ich werde gleich mal einige Aufgaben probieren :-)