Beweis per direkter Induktion

Question

Aufgabe:

Zeige: Für Alle natürlichen Zahlen gilt: $$|\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}|<e-\frac{1}{2^{n-1}}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht diese Aufgabe per direkter Induktion zu lösen. Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung habe ich gemacht, aber im Induktionsschritt habe ich für alle n (n+1) eingesetzt. Dann habe ich versucht umzuformen, aber ich bin nicht weiter gekommen. Was muss ich tun?

Comments

Kann es ein, dass hier \(\large\boxed{\mathrm e-}\) fehlt?

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ja, genau hab ich übersehen

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Kann es sein, dass jetzt \(\large\boxed{\mathrm e-}\) an falscher Stelle steht?

Answer 1

Verwende \((n+1)!>2^{n+1}>2^{n-1}\) für \(n\geq 3\) und schätze damit den letzten Summanden \(\frac{1}{(n+1)!}\) ab.