Direkter Beweis und vollständige Induktion dass (2n tief 2) = 2(n tief 2) + n^2

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie

a) direkt

b) durch vollständige Induktion

die Beziehung

$$\left( \begin{array} { c } { 2 n } \\ { 2 } \end{array} \right) = 2 \cdot \left( \begin{array} { c } { n } \\ { 2 } \end{array} \right) + n ^ { 2 }$$

Answer 1

Hier mal die direkte Umformung:

(2n tief 2) = (2n)! /(2! * (2n-2)! ) = (2n*(2n-1))/2 = n(2n-1) = 2n^2 - n

(n tief 2) = n! / (2!*(n-2)!) = n(n-1)/2

2(n tief 2) + n^2 = 2*n(n-1)/2 + n^2 = n(n-1) + n^2 = 2n^2 - n

qed.

Beim Induktionsbeweis einfach auch die Definitionen / Brüche … sorgfältig einsetzen. Sollte klappen.