Aloha :)
Zu zeigen: \(\quad\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos nx+i\,\sin nx\)
Verankerung bei \(n=0\):$$1=(\cos x+i\sin x)^0=\cos 0+i\sin 0=1\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$(\cos x+i\sin x)^{n+1}=(\cos x+i\sin x)^n\cdot(\cos x+i\sin x)$$$$\quad\!\stackrel{I.V.}{=}(\cos nx+i\,\sin nx)(\cos x+i\sin x)$$$$\quad=\cos nx\cos x-\sin nx\sin x+i\left(\sin nx\cos x+\cos nx\sin x\right)$$Mit den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus folgt weiter:$$\quad=\cos(nx+x)+i\,\sin(nx+x)=\cos((n+1)x)+i\,\sin((n+1)x)\quad\checkmark$$
