Aloha :)
Die Exponentialfunktion hat folgende Reihendarstellung: \(\quad e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\)
Damit kannst du den Ausdruck auf der linken Seite in den auf der rechten Seite umschreiben:
$$1-e^{-\lambda x}=1-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-\lambda x)^n}{n!}=1-\left(\underbrace{\frac{(-\lambda x)^0}{0!}}_{=1}+\underbrace{\frac{(-\lambda x)^1}{1!}}_{=-\lambda x}+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{(-\lambda x)^n}{n!}\right)$$$$\phantom{1-e^{\lambda x}}=\lambda x-\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{(-\lambda x)^n}{n!}=\lambda x-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-\lambda x)^{n+2}}{(n+2)!}=\lambda x-x^2\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-\lambda)^{n+2}x^n}{(n+2)!}$$$$\phantom{1-e^{\lambda x}}=\lambda x\underbrace{-x^2\left(\frac{\lambda^2}{2!}-\frac{\lambda^3}{3!}x+\frac{\lambda^4}{4!}x^2\mp\dots\right)}_{=g(x)}$$
