Satz von Cayley-Hamilton. Bestimmen: M^298023223876953126?

Question

Satz von Cayley-Hamilton

Sei $$ M=  \begin{pmatrix} -i && 2 \\  1 && 2i \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2x2} $$

Bestimmen: M^{298023223876953126}.

Tipp: 298023223876953125 = (5⁵)^{^5}.

Danke für eure hilfe :)

@ Geändert wie im Kommentar angegeben, ullim.

Comments

Soll die Matrix so aussehen?

$$  \begin{pmatrix} -i && 2 \\  1 && 2i \end{pmatrix} $$

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Vielleicht hilft, dass \(M^5=M\) ist.

Answer 1

Finde die Eigenwerte von \( M \) und eine Transformationsmatrix \( T \) für die gilt \( M = TDT^{-1} \) und die Matrix \( D \) hat auf der Diagonalen die Eigenwerte. Dann gilt
$$ M^n = TD^nT^{-1}  $$ mit dem Hinweis \( M^5 \) sollte es dann klappen.