Automorphismen mit Satz von Cayley und Hamilton

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich dimensionales Vektorraum über einem Körper und f:V→V Automorphismus. Zeigen sie es existiert ein Polynom P∈K[X] mit f^-1 =P(f)

Problem/Ansatz:

Ich weiß dass ich zeigen muss das f^-1=a₀ +a₁f+...+a_n fⁿ .Aber ich weiß nicht wie es zeigen soll.

Answer 1

Sei \(p(x)=a_0+a_1x+\dots+ a_{n-1}x^{n-1}+x^n\) das charakteristische Polynom von \(f\) über \(K\). Nach besagtem Satz gilt$$0=a_0f^0+a_1f+\dots+a_{n-1}f^{n-1}+f^n.$$Es folgt$$-a_0f^0=a_1f+\dots+a_{n-1}f^{n-1}+f^n$$und weiter$$-a_0f^{-1}=a_1f^0+\dots+a_{n-1}f^{n-2}+f^{n-1}.$$Da \(f\) ein Automorphismus ist, ist \(a_0\ne0\). Multipliziere nun mit dem Inversen von \(-a_0\).