Lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten (x1,x2,x3) und unbekannten Koeffizienten

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

\( \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3+z & 7 \\ -1 & -2 & 2 z-3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right) \)

a) Nennen Sie ein \( z \in \mathbb{R} \), für welches das Gleichungssystem keine Lösung hat.

b) Nennen Sie ein \( z \in \mathbb{R} \), für welches das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

c) Setzen Sie \( z=1 \) ein, und lösen Sie das Gleichungssystem.

d) Für welche \( z \in \mathbb{R} \) hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung?

e) Wie ist \( z \) zu bestimmen, damit das folgende lineare Gleichungssystem.

Ansatz/Problem:

Ich konnte a) und b) mit dem Gaußschen Verfahren lösen und kam auf die Werte a) 0 und b) 1. Bei der Nummer c) musste ich ja nur 1 einsetzen und das GS lösen. (x1,x2,x3)=(-5-2t,t,1) Probleme habe ich bei der Nummer d). Für welches z hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung? Da hab ich leider überhaupt keine Ahnung. Nicht mal einen Ansatz.

Answer 1

Subtrahiere das doppelte der ersten Zeile von der zweiten und addiere die erste Zeile zur dritten und erhalte$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&z-1&1\\0&0&2z\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}-2\\1\\2\end{array}\right).$$Es existiert genau dann eine eindeutige Lösung, wenn \(z\ne0\land z\ne1\) gilt.

Comments

Das gleich erhalte ich, wenn ich mir die Determinante der Matrix ausrechne also 0 und 1. Ich wusste nur nicht was ich mit den Werten anfangen soll. Also habe ich bei jeder Reellen Zahl aus 0 und 1 genau eine eindeutige Lösung?

Danke für deine Mühe

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Das ist korrekt. Es existiert genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix von Null verschieden ist, denn dann ist die Matrix invertierbar. An der Dreiecksgestalt der Matrix kann man die Determinante \(2z(z-1)\) leicht ablesen. Die ist offenbar nur dann gleich Null, wenn \(z=0\) oder \(z=1\) ist.