Betrachten Sie das als LGS mit Unbekannten x1, x2 und x3 und wenden Sie die Cramersche Regel an.

Question

Gegeben ist ein Dreieck mit Eckpunkten A,B,C und gegenüberliegenden Seiten mit Längen a, b und c.
Die Innenwinkel an A,B bzw. C sollen α, β und γ heißen, und wir kurzen ab: x₁ := cos(α), x₂ := cos(β) und x₃ := cos(γ). Nun gelten folgende Gleichungen (Geometrie am Dreieck):
b · x₁ + a · x₂ = c,
c · x₁ + a · x₃ = b, und
c · x₂ + b · x₃ = a.
Betrachten Sie das als LGS mit Unbekannten x₁, x₂ und x₃ und wenden Sie die Cramersche Regel an.
Leiten Sie dann daraus den Kosinussatz ab!

Answer 1

Gegeben ist $$b \cdot x_1 + a \cdot x_2 = c \\ c \cdot x_1 + a \cdot x_3 = b \\ c \cdot x_2 + b \cdot x_3 = a$$in Matrixschreibweise \( A \cdot x = b\) sieht das so aus:$$\begin{pmatrix} b & a & 0 \\ c & 0& a \\ 0 & c & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\b \\ a \end{pmatrix}$$Die Cramersche Regel besagt, dass z.B.:$$x_1 = \frac{D_1}{D}$$wobei \(D=\det(A)\) ist und \(D_1=\det(A_1)\) und \(A_1\) ist die Matrix, die entsteht, wenn man die erste Spalte von \(A\) durch die rechte Seite \(b\) ersetzt. Also:$$A_1= \begin{pmatrix} c & a & 0 \\ b & 0& a \\ a & c & b\end{pmatrix} $$Dann ist$$D = -2abc \\ D_1= \left| \begin{array}{} c & a & 0 \\ b & 0& a \\ a & c & b\end{array} \right| = a^3-ac^2-ab^2$$Einsetzen in die Gleichung für \(x_1\) gibt:$$x_1= \frac{D_1}{D} = \frac{a^3-ac^2-ab^2}{-2abc} = \frac{-a^2+c^2+b^2}{2bc} \\ \implies a^2 = c^2 +b^2 - 2bcx_1 = c^2 +b^2 - 2bc \cos \alpha$$