Cramersche Regel LGS

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem in den Unbekannten (x,y,z,s,t) mit Koeffizienten in Q.

x+2y+3s-t = 0

x+2y+3z-s+2t = 2

2x+4y+s-2t = 2

Wende die Cramersche Regel an, um die Lösungsmenge zu berechnen

Problem/Ansatz:

Die Cramersche Regel kann man in der aktuellen Form ja nicht anwenden, da die Abbildungsmatrix ja nicht quadratisch wäre, meine Idee war es dann die Gleichungen umzustellen zu der Form:

x+3y+3s = t

x+2y-s = -3z-2t+2

2x+4y+s = 2+2t

Daraus kann man dann ja die Abbildungsmatrix bestimmen und nach der Cramerschen Regel die Lösungen berechnen, das kann ich dann, ich wollte nur nachfragen ob mein Ansatz hier korrekt wäre oder ob das so fehlerhaft wäre?

Vielen Dank im Voraus schonmal für eure Hilfe!

Comments

Vermutlich soll \((x,y,z)^\top\in\R^3\) in Abhängigkeit der Parameter \(s,t\) bestimmt werden.
In Matrixschreibweise hieße das dann
\(\begin{pmatrix}1&3&0\\1&2&3\\2&4&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3s+t\\s-2t+2\\-s+2t+2\end{pmatrix}\).
Kann es sein, dass deine erste Gleichung einen Druckfehler enthält?

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Hast recht es müsste x+2y+3s =t sein.

Macht es denn einen unterschied ob ich die Lösungsmenge in Abhängigkeit von s,t bestimme oder von z,t , da die rechte Seite der Gleichung deutlich kürzer wäre wenn ich die Lösung in Abhängigkeit von z,t bestimme oder komme ich dann auf ein falsches Ergebnis?

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Es macht schon einen Unterschied, ob nach (x,y,z)^T oder (x,y,s)^T gefragt ist und welche der Variablen Parameter sind. Leider geht das nicht eindeutig aus der Aufgabenstellung hervor.
Den Druckfehler vermute ich in der ersten Gleichung, nicht in der vierten.

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Ein Druckfehler gab es nicht, das habe ich gerade nochmal überprüft, ich denke mal du hattest gefragt, da die Determinante von der Matrix dann 0 ist? Das hatte ich gerade auch ausgerechnet und bin jetzt ein wenig verwirrt.

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Es ist eine doppelt unbestimmtes System, nur 3 Gleichungen bei 5 Unbekannten.

Das macht die Sache unangenehm.

Entweder man wählt 2 Variablen frei oder löst in Abhängigkeit von 2 gewünschten.

Welche das sein sollen, ist unbekannt.

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Hallo

Nein es ist egal ob D x,y,z oder x,y,s oder noch 3 andere aussuchst um Cramer anzuwenden, es kann höchstens eine unangenehmer als die andere sein.

Gruß lul

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Warum nicht gleich 2 Gleichungen mit 10 Variablen? Sinn solcher Aufgaben?

Wieviele Unbekannte enthält die String-Theorie mit ihren 10 oder 11 Dimensionen?

Schon bei der 5. Dimension dürfte es für die mens humana problematisch werden,oder?

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Der Sinn reiner Rechenaufgaben besteht in der Regel darin, Rechentechniken einzuüben und Verständnis für diese zu entwickeln.

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Wenn man ein lineares Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen hat. Kann man sich im Allgemeinen nicht aussuchen, welche Variablen man zu frei wählbaren erklärt.

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@Arsinoé4

Vermutlich soll \((x,y,z)^\top\in\R^3\) in Abhängigkeit der Parameter \(s,t\) bestimmt werden.

Das hätte ich zu Beginn spontan auch so interpretiert.

Bei genauerem Hinsehen steht da aber Folgendes:

Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem in den Unbekannten (x,y,z,s,t)

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Das mag sein. Es steht dort aber auch

Wende die Cramersche Regel an, um die Lösungsmenge zu berechnen

Mit mehr Unbekannten als Gleichungen dürfte sich das schwierig gestalten.
https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel#Regel

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Ich hatte meinen Professor nach einer Hilfestellung gefragt, das einzige was er noch dazu geschrieben hatte, ist ob man das Gleichungssystem irgendwie auf eine quadratische Matrix isolieren kann.

Der Ansatz mit der Lösung (x,y,z) durch die Parameter s,t hatte nicht funktioniert, da ich dort dann für die Abbildungsmatrix die Determinante det(A)=0 erhalte. Ich hatte die Lösung (z,s,t) mit den Parametern x,y durchgerechnet und kam da auch auf ein Ergebnis. Die Parameter (x,y) dürfen in der Lösungsmenge ja eigentlich auch gar nicht vorkommen, da die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix die sie bilden immer linear abhängig sind, wodurch die Determinante ja automatisch null ist.

Ich kam nach meiner Rechnung auf det(A) = 2

x1 = x+2y

x2 = 2x+4y+1

x3 = 1/2(5x+11y+6)

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Vielleicht sollest Du mal richtig stellen welches der beiden LGS da oben das relevante ist?

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Natürlich sorry, hatte ich total vergessen.

Ich hatte System aus der Fragestellung umgeformt zu:

3s-t = -x-2y

3z-s+2t = 2-x-2y

s-2t = -2x-4y+2

Mir ist dabei aufgefallen dass ich einen Vorzeichenfehler hatte. Würde das theoretisch denn so gehen, dass ich daraus die Abbildungsmatrix bilde und die Cramersche Regel löse.

Answer 1

Hm,

ich halte die Aufgabenstellung ja für einen nicht eingestandenen Unfall. Wenn Du das LGS nach Deiner letzten Einteilung aufstellst ergibt sich

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}3&-1&0&-s - 2 \; t\\-1&2&3&-s - 2 \; t + 2\\1&-2&0&-2 \; s - 4 \; t + 2\\\end{array}\right)\)

s==x, t==y - meine App zieht die Matrix aus den Variablen x,y,z

und die Determinanten

\(\scriptsize detAi \, :=  \, \left\{ \left(\begin{array}{rrr}-s - 2 \; t&-1&0\\-s - 2 \; t + 2&2&3\\-2 \; s - 4 \; t + 2&-2&0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}3&-s - 2 \; t&0\\-1&-s - 2 \; t + 2&3\\1&-2 \; s - 4 \; t + 2&0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}3&-1&-s - 2 \; t\\-1&2&-s - 2 \; t + 2\\1&-2&-2 \; s - 4 \; t + 2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}3&-1&0\\-1&2&3\\1&-2&0\\\end{array}\right) \right\} \\ detAi \, :=  \, \left\{ -6, 15 \; s + 30 \; t - 18, -15 \; s - 30 \; t + 20, 15 \right\} \)

damit

\(\small \left(\begin{array}{rrr}3&-1&0\\-1&2&3\\1&-2&0\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\frac{-2}{5}\\s + 2 \; t - \frac{6}{5}\\-s - 2 \; t + \frac{4}{3}\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-s - 2 \; t\\-s - 2 \; t + 2\\-2 \; s - 4 \; t + 2\\\end{array}\right) \)

Es ergeben sich aber noch andere Einteilungen für entsprechende Lösungen - praktisch wird der Cramer nicht zur Lösung von LGSen verwendet...