LGS mit Gauß lösen. a) a=-12 , b) Cramersche Regel

Question

a) Bestimmen Sie die Lösung des LGS für
a = - 12.
b) Lässt sich das LGS auch durch Anwendung der Cramerschen Regel lösen? Begründen Sie ihre
Antwort durch Bezugnahme auf die Determinante von A.
c) Gibt es einen Wert a, für den das LGS keine Lösung besitzt? Wenn ja, geben Sie einen
solchen Wert an.
Welchen Rang haben in diesem Fall die Matrix A und die Matrix (A|b)?

Hallo , ich habe versucht das LGS mit dem Gauß Verfahren zu lösen , ich kam auf dieses Ergebnis : 

1Zeile : 1 , 0 , -1/3 0   2Zeile: 0 0 0 0   3Zeile:0 1 -5/3 -3      : ist das Ergebnis richtig ? da sich eine Nullzeile ergeben hat , besitzt das LGS unendlich viele Lösungen oder habe ich was falsch gemacht ?

Answer 1

(unbekannt sind wir hier fast alle :-))

a) Deine Endmatrix und dein Ergebnis sind richtig. 

    Du musst aber noch die allgemeine Lösung mit beliebigem x₃ = c  ausrechnen.

    ( Kontrollergebnis:  [x₁ , x₂ , x₃]  =  [ c/3 , 5/3 c - 3 , c ]   mit c ∈ ℝ beliebig )

b)  Die Determinante von A hat den Wert 0. 

     Dann ergibt die Cramersche Regel lediglich "keine oder unendlich viele Lösungen". 

c)  keine Lösung für a ≠ -12  mit  Rang(A) = 2  und Rang(A|b) = 3

Gruß Wolfgang

Answer 2

A(2)=A(2)-2A(1), A(3)=A(3)-A(1)

\( \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-2&-3\\0&-3&5&9\\0&3&-5&a + 3\\\end{array}\right)\)

A(1)=A(1)-A(3)/3, A(3)=A(3)/-3

\(\left(\begin{array}{rrrr}1&1&-2&-3\\0&-3&5&9\\0&0&0&a + 12\\\end{array}\right)\)

Damit a=-12 sonst nicht lösbar

\(\left(\begin{array}{rrrr}1&0&-\frac{1}{3}&0\\0&1&-\frac{5}{3}&-3\\0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

x3=t bleibt unbestimmt

\(\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0.33 \; t\\1.67 \; t - 3\\t\\\end{array}\right)\)

Comments

In die letzte Zeile gehört dann wohl  ≈  statt  =