Zeigen, dass es sich um eine symmetrische Matrix handelt

Question

Sei A∈ℝ^{mxn}

Es ist B := A (A^T A)^{-1} A^T

nun soll gezeigt werden dass B symmetrisch ist: Also dass B = B^T ist.

B = A (A^T A)^{-1} A^T

<=> A (A^{-1} (A^{T})^{-1}) A^T

Aber wenn ich B transponiere komme ich nicht auf B.

Wie sieht die korrekte Umformung aus um zu zeigen dass B = B^T ist?

Answer 1

Hi,
$$ \left[ A(A^TA)^{-1}A^T \right]^T = A [ (A^TA)^{-1} ]^T A^T = A [ (A^TA)^T ]^{-1} A^T=A(A^TA)^{-1}A^T $$ also ist \( \left[ A(A^TA)^{-1}A^T \right]^T  \) symmetrisch.

Zu beachten ist, das nicht ausgenutzt werden darf, das \( A \) invertierbar ist, da \( A \in \mathbb{R}^{m \times n } \) und damit nicht quadratisch ist.

Answer 2

Gibt es noch eine zusätzliche Voraussetzung für \(A\)? Denn \(A^T\cdot A\) ist im Allgemeinen nicht invertierbar; für beliebige \(A\) ist die Aussage also falsch.

\(B=A\cdot (A^{-1}\cdot (A^T)^{-1})\cdot A^T\) stimmt nicht. Beachte, dass \(A\) nicht quadratisch sein muss.

Transponiere einfach \(B\):
\(B^T=(A\cdot (A^T\cdot A)^{-1}\cdot A^T)^T=(A^T)^T\cdot ((A^T\cdot A)^{-1})^T\cdot A^T=...\)

Comments

Ich denke in der Aufgabenstellung wird implizit davon ausgegangen das \( A^T A \) invertierbar ist, da der Term \( (A^T A)^{-1} \)  aufgeführt wird.