In dieser Aufgabe zeigen wir, dass jede symmetrische Matrix A ∈ ℝNxN orthogonal diagonalisierbar ist, d.h, es existiert eine orthogonale Matrix S ∈ ℝNxN , sodass D = SAS⊤ = diag(λ1,...,λN), S⊤ = S-1.
Die orthogonale Diagonalisierung ist, wie wir bereits nach der Vorlesung wis- sen, äquivalent zur Existenz einer ONB aus Eigenvektoren, welche dann die Spalten von S⊤ bilden.
Zeigen Sie durch Anwendung vollständiger Induktion über N, dass jede symmetrische Matrix A ∈ ℝNxN eine ONB des ℝN aus Eigenvektoren besitzt. Ignorieren Sie dabei den Induktionsanfang bei N = 1 (klar, da 1 eine ONB von ℝ ist) und gehen Sie wie folgt vor:
(a) Formulieren Sie die konkrete Induktionsvoraussetzung.
(b) Begründen Sie für den Induktionsschritt von N − 1 auf N für N ≥ 2 die Existenz
(i) eines reellen EW λ1 von A mit zugehörigem normierten EV x1 und
(ii) einer orthogonalen Matrix T mit T⊤e1 = x1.
(c) Geben Sie die Struktur von TAT⊤ an.
(d) Wenden Sie die Induktionvoraussetzung auf eine Teilmatrix von TAT⊤ an.
e Konstruieren Sie aus T und der gewonnenen ONB des RN−1 aus Teilaufgabe (d) eine ONB des ℝN aus Eigenvektoren von A.
Kann mir jemand weiterhelfen, bei scheiterts schon bei der a leider
