E-Funktionen mit ln auflösen? e^x − 3e^{−x}= 2 .

Question

Ich bin versuche grade eine Aufgabe zu lösen, die eigentlich leicht ist, aber ich weiß einfach nicht, was ich falsch mache. Ich soll sagen ob die Aussage: Es gibt ein x ∈ R, so dass e^x − 3e^{−x}= 2 .   

Ich habe dann erst den ln auf beiden Seiten angewendet, was dann doch eigentlich x-3*-x = ln(2) ergeben müsste. Das wäre dann 4x = ln(2)

=>  x = 1/4*ln(2)

Laut Wolfram Alpha ist die Lösung aber ln(3). Ist schon bisschen länger her, dass ich sowas machen musste, also korrigiert micht bitte, wenn ich was falsch gemacht habe.

Comments

Wie geht eure Frage weiter? Vielleicht so:

"Ich soll sagen ob die Aussage: Es gibt ein x ∈ R, so dass e^x − 3e^−x= 2 ." wahr ist . 

Wenn ja, musst du das x gar nicht ausrechnen. Du solltest dann mit Hilfe der Stetigkeit sehr schnell ja sagen können. 

  

Answer 1

e^x - 3·e^{-x} = 2

e^x - 3/e^x = 2

Substitution z = e^x

z - 3/z = 2     | *z

z^2 - 3 = 2·z

z^2 - 2·z - 3 = 0

z = 3 ∨ z = -1

Resubstitution

e^x = 3 --> x = LN(3)

e^x = -1 --> keine Lösung

Comments

Gibt es auch noch irgendeinen anderen Weg die Gleichung zu lösen? Ich wäre zum Beispiel nie im Leben drauf gekommen, dass man das durch Substitution lösen könnte.

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Gibt es auch noch irgendeinen anderen Weg die Gleichung zu lösen?

Sicher:
$$ \text{e}^x − 3\cdot\text{e}^{−x} = 2 \\ \text{e}^x - 2 − 3\cdot\text{e}^{−x} = 0\quad|\quad\cdot \text{e}^x \\ \left(\text{e}^x\right)^2 - 2\cdot\text{e}^x − 3 = 0 \\ \left(\text{e}^x-2\right)\cdot\left(\text{e}^x+1\right) = 0 \\ \text{e}^x-2 = 0 \\ \text{e}^x = 2 \\ x = \ln(2). $$Die Gleichung führt auf eine quadratische Nullstellengleichung in \(\text{e}^x\), deren eine Seite sich mit dem Satz von Viéta faktorisieren lässt, wobei nur ein Faktor überhaupt Null werden kann.

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Nach Viéta faktorisiert?

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Entschuldige bitte, der Mann hieß natürlich Viète und nannte sich gerne Vieta.

de.wikipedia.org: François Viète

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Einer der Faktoren ist trotzdem falsch.

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jf111 meinte es eher wie unten, da ja dasselbe wie bei Mathecoach rauskommen muss.Im TeXCode wirds schnell unübersichtlich.

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$$\text{e}^x − 3\cdot\text{e}^{−x} = 2 \\ \text{e}^x - 2 − 3\cdot\text{e}^{−x} = 0\quad|\quad\cdot \text{e}^x \\ \left(\text{e}^x\right)^2 - 2\cdot\text{e}^x − 3 = 0 \\ \left(\text{e}^x-3\right)\cdot\left(\text{e}^x+1\right) = 0 \\ \text{e}^x-3 = 0 \\ \text{e}^x = 3 \\ x = \ln(3).$$

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Hi, stimmt, jetzt sehe ich, dass einer meiner Faktoren falsch war. Da habe ich wohl zu wenig geschrieben und zuviel kopiert! :-( Danke schön für die Hinweise!