Aufgabe:
Sei \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) gegeben durch \( w=f(z)=z^{3} \) und \( w_{0}=1 \) ein Bildpunkt von \( f \).
Zeigen Sie,
(i) dass \( z_{1}=1, z_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} i \) und \( z_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{3} i \) Urbilder von \( w_{0} \) sind;
(ii) dass es Umgebungen \( U \) von \( z_{1} \) und \( V \) von \( w_{0} \) gibt, so dass \( f \) eine eindeutige stetige Inverse \( f^{-1}: V \rightarrow U \) hat.
Steht die Eindeutigkeit der inversen Funktion \( f^{-1} \) aus (ii) im Widerspruch zu den drei Urbildern aus (i)?
Tipp: Spalten Sie die komplexe Funktion \( f \) in Real- und Imaginärteil auf und identifizieren Sie \( f \) mit einer Abbildung \( \tilde{f}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \).
Ansatz/Problem:
Mir ist zwar klar wie ich zeigen kann das etwas ein Urbild ist etc, allerdings stört micht das komlpexe Funktionen sind.
