Hallo,
wenn ich das richtig verstehe, geht es um Funktionen \(w:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) und die Darstellung von \(w(t)^{-1}=\frac{1}{w(t)}\). Ich benutze \(t\) statt \(\lambda\).
Für \(w(t)=t^2\) ist eben \(\frac{1}{w(t)}=\frac{1}{t^2}\).
Für \(w(t)=1+jt\) ist
$$\frac{1}{w(t)}=\frac{1}{1+jt}= \frac{1}{1+jt} \frac{1-jt}{1-jt}=\frac{1}{1+t^2} - j \frac{t}{1+t^2}$$
Hier wird die Umformung durchgeführt, um im Ergebnis Real- und Imaginärteil explizit darzustellen.
Für das weitere wird die Rechenregel \(\frac{1}{\exp(z)}=\exp(-z)\) und auch die Eulersche Formel verwendet. Warum bei d) nicht konsequent nach Real- und Imaginärteil aufgelöst wird, weiß ich auch nicht.
Gruß
Hallo,
hier die Lösung für e). Zur Abkürzung setze ich \(q:=4t+ \frac{\pi}{2}\), also \(w(t)=1+2 \exp(jq)\). Dann ist
$$\frac{1}{w(t)}=\frac{1}{1+2 \exp(jq)}\frac{1+2 \exp(-jq)}{1+2\exp(-jq)}$$
Der Zähler ergibt jezt mit der Euler Formel:
$$1+2(\cos(-q)+j\sin(-q))=1+2\cos(q)-2\sin(q)$$
Der Nenner ergibt:
$$1+2\exp(-jq)+2\exp(jq)+4=$$
$$5+2(\cos(q)-j\sin(q))+2(\cos(q)+j\sin(q))=$$
$$5+4\cos(q)$$
Das ist das von Dir angegebene ERgebnis. Ich würde jetzt noch mit den trigonometrischen Formeln die \(\frac{\pi}{2}\) beseitigen.
Gruß
